Разрешимость системы алгебраических уравнений метода сеток

Для упрощения рассмотрим частный случай

.

Введем обзначения:

, , , .

Теперь задача (3.42) - (3.43) записывается в виде

(3.44)

Покажем, что соответствующая однородная система алгебраических уравнений

(3.45)

имеет только тривиальное решение.

Лемма 3.1. Пусть на отрезке [ a, b ] заданы некоторые числа , среди которых есть неравные между собой, и выполнены условия

, (3.46)

а также имеет место

.

Тогда среди чисел наибольшее положительное значение принимает либо , либо .

Пусть, напротив, наибольшее положительное значение достигается внутри отрезка [ a, b ] при некотором значении , причем либо , либо . Тогда в силу условия 1) получим

,

поскольку . Благодаря условию 2) имеем:

.

Пришли к противоречию с исходным предположением, что и доказывает лемму.

Лемма 3.2. Пусть на отрезке [ a, b ] заданы некоторые числа , среди которых есть неравные между собой, выполнены условия (3.46), а также имеет место

.

Тогда среди чисел наименьшее отрицательное значение принимает либо , либо .

Доказательство этого утверждения проводится аналогично предыдущему.

Теорема 3.7. Пусть выполнены условия (3.46). тогда однородная система алгебраических уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение.

Доказательство. В соответствии с формулами (3.45) выполнены условия лемм 3.1 и 3.2 одновременно. В этом случае наибольшим и наименьшим значениями являются либо , либо . Но согласно формуле (3.45) . Но это означает, что и все остальные . Таким образом, система уравнений (3.45) имеет только тривиальное решение, и поэтому ее определитель отличен от нуля. Следовательно, исходная система линейных алгебраических уравнений (3.44) имеет единственное решение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: