Метод узлового напряжения

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Метод свертывания

Цепь со смешанным соединением включает в себя участки с по­следовательным и параллельным соединением потребителей, или сопротивлений (резисторов).

Расчет электрической цепи с одним источником и смешанным соединением резисторов методом свертывания проводится в сле­дующей последовательности.

1. На схеме отмечаются все токи и узловые точки.

2. Группы резисторов с явно выраженным последовательным или параллельным соединением заменяются эквивалентными, и определяются их сопротивления.

3. Замена производится до получения простейшей схемы, для которой элементарно определяется общее (эквивалентное) со­противление всей цепи.

4. По заданному напряжению источника и вычисленному обще­му сопротивлению всей цепи определяется ток в неразветвленной части цепи (общий ток).

5. Определяются падения напряжения на участках цепи и ток каждого резистора.

Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на примере 1 (рис. 1).

Рис. 1

Пример 1

1. При заданных сопротивлениях всех потребителей цепи и на­пряжении U определить токи всех потребителей.

2. Определить, как изменяются эти токи, если к потребителю с сопротивлением R₈ параллельно подключить лампу накалива­ния (рис. 4.3).

Расчет осуществить в общем виде. Внутренним сопротивлени­ем источника пренебрегаем.

Решение

1. В рассматриваемой цепи (рис. 1) определяются группы потребителей, соединенных последовательно или параллельно. Определяются эквивалент­ные сопротивления участков, а схема при этом «свертывается».

Очевидно, резисторы R8 и R7 Соединены параллельно, так как напряжение на них одинаковое. Следовательно, их общее сопро­тивление (рис. 2, а) Сопротивление группы R78 соеди­нено последовательно с резистором R6, таким образом, общее сопро­тивление (рис. 4.2, б) Сопротивление R678 соединено параллельно с резистором R5 (в точках В, С),следовательно, общее сопротивление (рис. 2, в) Сопротивление R5-8 соединено последовательно с резистором R4, т.е. общее сопротивление (рис. 2, г) Это сопро­тивление подключено параллельно к резистору R3 (в точках А, В), сле­довательно, общее сопротивление (рис. 2, д) Сопротивление R3-8 соединено последовательно с резисторами R1 и R2, следовательно, общее (экви­валентное) сопротивление иссле­дуемой цепи R определяется вы­ражением (рис. 2, e) Последовательность метода свер­тывания рассматриваемой схемы можно проиллюстрировать схема­ми, изображенными на рис. 2. Общий ток I, который проходит по сопротивлениям R1, R2 и R3-8, определим, воспользовавшись законом Ома для замкнутой цепи (рис. 2, д, е): (1) Ток создает на сопротивлении R3-8 (в точках А, В)падение напряжения, величину которого определим по закону Ома (2)	а)
б)
в)
г)
д)	е)
Рис. 2

Это же напряжение можно определить, воспользовавшись вто­рым законом Кирхгофа,

(3)

Напряжение U_AB необходимо для вычисления тока I₃ (рис. 2, г) и остальных токов:

(4)

К точкам А, В подключено общее сопротивление R_4-8, следова­тельно, ток, который проходит по резистору R₄, т. е. I₄, можно определить по закону Ома (рис. 2, в):

(5)

Этот же ток I₄ можно определить, воспользовавшись первым за­коном Кирхгофа,

(6)

Ток I₄ создает падение напряжения U_CB на общем сопротивле­нии R_5-8. Напряжение между точками С, В (U_CB)определяем по закону Ома (рис. 2, в):

(7)

Это же напряжение можно определить по второму закону Кирхгофа:

(8)

Напряжение R_5-8 необходимо определить для вычисления тока I₅ (рис. 2, б) и остальных токов по закону Ома:

(9)

К точкам С, В подключено общее сопротивление R₆₇₈, следова­тельно, ток, который проходит по резистору R₆, т. е. I₆, можно определить по закону Ома (рис. 2, а):

(10)

Тот же ток можно определить по первому закону Кирхгофа:

(11)

Ток I₆ создает падение напряжения U_CD на общем сопротивле­нии R₇₈

(12)

или (13)

Токи I₇ и I₈ определяются по закону Ома (рис. 1):

и (14)

Один из этих токов можно определить по первому закону Кирхгофа:

или (15)

Таким образом, определены токи всех включенных в цепь (рис. 1) потребителей.

2. Рассмотрим динамический режим работы электрической цепи, т. е. режим изменения токов и напряжений в цепи. В при­мере 1 эти изменения вызваны подключением лампы накалива­ния R₉ параллельно резистору R₈ (рис. 3).

Рис. 3

Очевидно, параллельное подключение лампы накаливания к сопротивлению R₈ уменьшает сопротивление участка между точ­ками С, D (R₇₈₉), следовательно, уменьшается и общее сопротив­ление цепи R (рис. 2, б - е).

Уменьшение общего сопротивления приведет к увеличению об­щего тока цепи I, т. е. токов I₁ и I₂ (выражение (1)). Увеличение этих токов вызовет уменьшение напряжения U_AB (выражение (3)), а сле­довательно, уменьшение тока I₃ (выражение (4)). Так как ток I₁ уве­личился, а ток I₃ уменьшился, то ток I₄увеличится (выражение (6)). Увеличение тока I₄ приведет к уменьшению напряжения U_CB (вы­ражение (8)), в результате чего уменьшится ток I₅ (выражение (9)). Уменьшение тока I₅ вызовет увеличение тока I₆ (выражение (11)), что приведет к уменьшению напряжения U_CD (выражение (13)). Следовательно, уменьшаются токи I₇ и I₈ (выражение (15)).

Как видно, параллельное подключение лампы R₉ к резисторам с сопротивлением R₇ и R₈ шунтирует их, т. е. уменьшает напряжение U_CD на этих сопротивлениях и токи I₇ и I₈ в них.

Таким образом, подключение дополнительного потребителя в цепь вызывает соответствующие изменения режима работы всех участков цепи.

Для расчета электрической цепи методом свертывания могут быть заданы либо ток, протекающий через определенный рези­стор, либо напряжение на одном из участков.

Методика расчета параметров таких цепей приведена в приме­рах 2 и 3.

Пример 2

Для цепи (рис. 4) заданы: I₁; R₀; R₁; R₂; R₃; R₄ и R₅.

1. Определить ЭДС источника Е.

2. Определить токи в остальных ветвях.

3. Определить мощность на каждом резисторе.

4. Составить уравнение баланса мощностей в этой цепи.

Решение

Ток I₁ проходит через источник и создает падение напряжения на его внутреннем сопротивлении U₀ = I₁R₀ и на резисторе с сопротивлением R₁ т. е. U₁ = I₁R₁. Тот же ток I₁ создает падение напряжения между точками А и В, т. е. U_AB = I₁R_AB. ЭДС источни­ка складывается из этих падений на­пряжения, т. е. Е = U₀ + U₁ + U_АВ. Для определения напряжения между точками А и В (U_AB) и токов I₂, I₃, I₄ и I₅ произведем «свер­тывание» схемы (рис. 4) и определим общее сопротивление R_AB.

Рис. 4

, , Искомые токи определим по закону Ома , , , где или Мощность на каждом резисторе определяется выражением . Например: , и т. д. Составляется уравнение баланса мощностей .

Пример 3

Для цепи (рис. 5) заданы: U₄ = U_AB =36 В; R₀ = 0,5 Ом; R₁ = 1 Ом; R₂ = 2 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 5 Ом; R₆ = 6 Ом; R₇ = 7 Ом. Определить токи всех резисторов и ЭДС источника Е.

Решение

По заданному напряжению на участке АВ (U_AB) определяются токи

A; A.

так как Ом.

Рис. 5

Напряжение U_АВ по закону Ома равно

Откуда А

так как Ом

Напряжение U_АС можно определить по второму закону Кирхгофа

В.

Тогда токи

А; А.

Ток I₁ создает падение напряжения U₁ на резисторе R₁ и на внут­реннем сопротивлении источника U₀.

В; В.

Тогда ЭДС источника

В.

2. Метод преобразования схем

Метод преобразования электрических схем применяют для рас­чета сложных цепей путем преобразований треугольника сопро­тивлений в эквивалентную звезду или звезды сопротивлений в эк­вивалентный треугольник.

а)	б)

Рис. 6

Контур, состоящий из трех сопротивлений R_AB, R_BC и R_CA, имею­щий три узловые точки А, B и С, образует треугольник сопротив­лений (рис. 6, а).

Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений R_A, R_B и R_C, соединенных в одной узловой точке О, образует звезду сопро­тивлений (рис. 6, б).

Расчет некоторых сложных цепей значительно упрощается, если соединение звездой в них заменить соединением треуголь­ником или наоборот.

Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками А, В и С токи I_A, I_B и I_C звезды и треугольника оставались без изменений.

Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, назы­ваются эквивалентными.

Для такого преобразования рекомендуется изображать схему цепи без заменяемого треугольника (или звезды), но с обозначен­ными вершинами А, В, и С икэтим обозначенным вершинам подсоединить эквивалентную звезду (или треугольник).

При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивле­ния звезды определяются следующими выражениями:

, , (4.1)

Таким образом, каждое сопротивление эквивалентной звезды равно отношению произведения двух примыкающих к соответству­ющей узловой точке сопротивлений треугольника к сумме трех его сопротивлений.

При замене звезды эквивалентным треугольником каждое со­противление треугольника определяется следующими выражениями:

, , (4.2)

Каждое сопротивление эквивалентного треугольника равно сумме трех слагаемых: двух примыкающих к соответствующим точкам сопротивлений звезды и отношению произведения этих сопротивле­ний к третьему сопротивлению звезды.

Пример 4.4

Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 4.7, а) при следующих исходных данных: Е = 2,2 В; R₁ = 10 Ом; R₂ = 30Ом; R₃ = 60 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 22Ом; R₀ = 0.

Решение

Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам А, В и С, эквивалентной звездой, под­ключенной к тем же точкам (рис. 4.7, б).

Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:

Ом

Ом

Ом

Рис. 4.7

Зная все сопротивления (рис. 4.7, б), определим токи I₀, I₄ и I₅, которые в эквивалентной схеме имеют такие же значения, как и в исходной схеме. Расчет цепи производим методом свертывания.

Ом; Ом.

Поскольку сопротивления между собой соединены параллель­но, их общее сопротивление будет равно

Ом,

а общее сопротивление схемы (см. рис. 4.7, б)

Ом.

Тогда ток в неразветвленной части цепи, т.е. общий ток,

А.

Напряжение на параллельном участке, т. е. на сопротивлении R_A,4,C,5,будет равно

В или В.

Значения токов в резисторах R₄ и R₅ получаются следующие:

A; A

Для определения тока I₃ в исходной схеме (рис. 4.7а) составля­ется уравнение по второму закону Кирхгофа для контура ACD:

.

Откуда A.

Знак «минус» перед значением тока показывает, что ток I₃ на­правлен против произвольно выбранного направления тока, т. е. от узловой точки С к узловой точке А.

Тогда, воспользовавшись первым законом Кирхгофа для узло­вых точек А и С, можно определить искомые токи (рис. 4.7а):

А;

А.

Для проверки: , что справедливо для первого закона Кирхгофа.

Пример 4.5

Справедливы ли полученные в примере 4.4 результаты, можно проверить, если преобразовать звезду сопротивлений (рис. 4.7б) в треугольник (рис. 4.7а).

Решение

;

;

.

Таким образом, полученные в примере 4.4 результаты справед­ливы.

4.3. Метод наложения

Метод наложения является одним из методов расчета сложных цепей с несколькими источниками. Сущность данного метода в следующем.

1. В каждой ветви рассматриваемой цепи направление тока вы­бирается произвольно.

2. Количество расчетных схем цепи равно количеству источни­ков в исходной схеме.

3. В каждой расчетной схеме действует только один источник, а остальные источники заменяются их внутренним сопротивле­нием.

4. В каждой расчетной схеме методом свертывания определяют частичные токи в каждой ветви. Частичным называется условный ток, протекающий в ветви под действием только одного источни­ка. Направление частичных токов в ветвях вполне определенно и зависит от полярности источника.

5. Искомые токи каждой ветви рассматриваемой схемы опре­деляются как алгебраическая сумма частичных токов для этой ветви. При этом частичный ток, совпадающий по направлению с искомым, считается положительным, а несовпадающий - от­рицательным. Если алгебраическая сумма частичных токов имеет положительный знак, то направление искомого тока в ветви сов­падает с произвольно выбранным, если же отрицательный, то на­правление тока противоположно выбранному. Метод наложения рассмотрим на примере 4.6.

Пример 4.6

Определить токи во всех вет­вях цепи, схема которой приве­дена на рис. 4.8а, если задано:

E₁ = 40 В; E₂ = 30 В; R₀₁ = R₀₂ = 0,4 Ом; R₁ = 30 Ом; R₂ = R₃= 10 Ом; R₄ = R₅ = 3,6Ом.

Решение

Количество ветвей и соответ­ственно различных токов в цепи (рис. 4.8а) равно пяти. Произвольно выбирается на­правление этих токов.

Расчетных схем две, так как в цепи два источника с ЭДС Е₁ и Е₂. Вычисляются частичные токи, созданные в ветвях пер­вым источником I^’. Для этого изображается та же цепь, толь­ко вместо Е₂ - его внутреннее сопротивление R₀₂. Направле­ние частичных токов в ветвях указаны в схеме рис. 4.8б.

Вычисление сопротивлений и токов производится методом свертывания.

Ом; Ом;

Ом; Ом;

Ом.

Первые частичные токи в цепи (рис. 4.86), созданные источни­ком Е₁ имеют следующие значения:

A; B; A;

A; B; A;

A.

Вычисляются частичные токи, созданные вторым источником I". Для этого изображается исходная цепь, в которой источник с ЭДС Е₁ заменен его внутренним сопротивлением R₀₁. Направле­ния частичных токов в ветвях указаны на схеме рис. 4.8в.

Сопротивления и токи определяются методом свертывания.

Ом; Ом;

Ом; Ом;

Ом.

Вторые частичные токи в цепи (рис. 4.8в) имеют следующие значения:

A; B; A;

A; B; A;

A.

Искомые токи в рассматриваемой цепи (рис. 4.8а) определяются алгебраической суммой частичных токов (см. рис. 4.8):

A; A;

A; A;

A.

Ток I_AB имеет знак «минус», следовательно, его направление противоположно произвольно выбранному, он направлен из точ­ки А в точку В.

Рис. 4.8

Метод узлового напряжения

Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлами можно осуществить методом узлово­го напряжения. Напряжение между узлами и называется узловым. U_AB - узловое напряжение цепи (рис. 4.9).

Рис. 4.9

Для различных ветвей (рис. 4.9) уз­ловое напряжение U_AB можно опреде­лить следующим образом.

1. Поскольку для первой ветви ис­точник работает в режиме генератора

Величина тока определяется как

, (4.3)

где - проводимость 1-й ветви.

2. Для второй ветви источник работает в режиме потребителя, следовательно

.

Тогда ток

. (4.4)

3. Для третьей ветви

.

Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенциал точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом.

Величину тока I₃ можно определить по закону Ома

. (4.5)

По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):

(4.6)

Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), (4.4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать

. (4.7)

Решив это уравнение относительно узлового напряжения U_AB, можно определить его значение

. (4.8)

Следовательно, величина узлового напряжения определяется от­ношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:

(4.9)

Для определения знака алгебраической суммы направление то­ков во всех ветвях выбирают одинаковым, т. е. от одного узла к другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режи­ме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работаю­щего в режиме потребителя, со знаком «минус».

Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению (4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5).

Узловое напряжение U_AB может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.

Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно условно выбранному.

Пример 4.7

В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если: E₁ = 35 В; E₂ = 70 В; R₁ = 1,7 Ом; R₀₁ = 0,3 Ом; R₂ = 0,9 Ом; R₀₂ = 0,1 Ом; R₃ = 4 Ом.

Решение

Узловое напряжение U_AB

где См; См;

См.

тогда В.

Токи в ветвях будут соответственно равны

А; А;

А.

Как видно из полученных результатов, направление токов I₁ и I₂ противоположно выбранному. Следовательно, источник E₁ рабо­тает в режиме потребителя.

Рис. 4.10

Пример 4.8

Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: Е₁ = Е₂ = 122 В; R₀₁ = R₀₂ = 0,5 Ом, питают по­требитель (нагрузку) с сопротивлением R = 5,85 Ом. Как изменится ток второго генератора:

1) при увеличении его ЭДС (Е₂)на 1 %;

2) при увеличении узлового напряже­ния (U_AB)на 1 %.

Решение

Определяется узловое напряжение U_AB цепи (рис. 4.11)

В,

где См; См; См.

Тогда ток второго генератора

А.

1. При увеличении Е₂ на 1 %, его величина станет равной

В,

тогда В.

При этом А.

Следовательно, увеличение ЭДС генератора Е₂ на 1 % приводит к увеличению тока этого генератора на 24 %.

2. При увеличении узлового напряжения на 1 % его величина станет равной

В.

При этом А. Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлово­го напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.

Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока I₂.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: