Уравнение регрессии. Основная цель регрессионного анализа состоит в определении связи между некоторой характеристикой Y наблюдаемого явления или объекта и величинами х1

Основная цель регрессионного анализа состоит в определении связи между некоторой характеристикой Y наблюдаемого явления или объекта и величинами х1, х2, …, хn, которые обусловливают, объясняют изменения Y. Переменная Y называется зависимой переменной (откликом), влияющие переменные х1, х2, …, хn называются факторами (регрессорами). Установление формы зависимости, подбор модели (уравнения) регрессии и оценка ее параметров являются задачами регрессионного анализа.

Уравнение регрессии записывается в виде: yx = φ(x, b0, b1, …, bp), где х – значения величины Х; yx = Mх(Y); b0, b1, …, bp – параметры функции регрессии φ. Таким образом, задача регрессионного анализа состоит в определении функции и ее параметров и последующего статистического исследования уравнения.

В зависимости от типа выбранного уравнения различают линейную и нелинейную регрессию (в последнем случае возможно дальнейшее уточнение: квадратичная, экспоненциальная, логарифмическая и т.д.). В зависимости от числа взаимосвязанных признаков различают парную и множественную регрессию. Если исследуется связь между двумя признаками (результативным и факторным), то регрессия называется парной, если между тремя и более признаками – множественной (многофакторной) регрессией.

Если вид функции φ в уравнении регрессии выбран, то для оценки неизвестных параметров b0, b1, …, bp используется метод наименьших квадратов (МНК). Согласно методу неизвестные параметры функции выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных (эмпирических) значений yi от их расчетных (теоретических) значений была минимальной, т.е.

где – значение, вычисленное по уравнению регрессии; – отклонение (ошибка, остаток); n – количество пар исходных данных.

Метод наименьших квадратов (МНК)

Вопрос 17. Корреляционный анализ. Показатели тесноты связи между признаками.

Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами.

Корреляционная связь проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятностных значений независимой переменной.

Для измерения тесноты корреляционной связи между результативным признаком и несколькими факторными при линейной форме связи рассчитывается множественный коэффициент корреляции по формуле:

Где парные коэффициенты корреляции.

Парные коэффициенты корреляции показывают тесноту корреляционной связи как между факторными и результативными признаками, так и между факторами-признаками.

Для исследования тесноты корреляционной связи между признаками при построении моделей множественной регрессии применяются:

1. частные коэффициенты корреляции, которые характеризуют тесноту корреляционной связи между факторным и результативным признаками, при элиминировании влияния учтенных факторов. Они вычисляются по формулам:

Множественный коэффициент корреляции рассматривается только как положительная величина, заключенная в интервале от 0 до 1. Так как, например, с одним признаком связь может быть прямая, с другим обратная, с третьим прямая и т.д., поэтому фиксация знака множественного коэффициента корреляции не имеет смысла.

2. Индекс корреляции, используемый для определения тесноты корреляционной зависимости при нелинейной связи, также может изменяться в пределах от 0 до 1 и рассматривается как положительная величина, так как кривые зависимостей имеют разный наклон. При использовании индекса корреляции рекомендуется указывать, к какому типу кривой он относится.

Также для измерения тесноты связи между двумя коррелируемыми признаками часто используют менее точные, но более простые по расчету непараметрические показатели. К ним относятся:

1. коэффициент Фехнера, коэффициенты корреляции рангов Спирмэна ρ и Кендэла .

Эти показатели основаны на корреляции не самих значений коррелируемых признаков, а их рангов.

При ранжировании каждой единице совокупности присваивается порядковый номер (ранг), причем при совпадении признака у нескольких единиц им дается средний ранг. Так, если у пятой и шестой единицы совокупности значения признака одинаковы, обе получают ранг, равный (5+6):2=5,5. Такие ранги называют связными.

Ранги признаков Х и У обозначают символами N_X и N_У (иногда R_Х и R_У). Суждение о связи между изменениями значений Х и У основано на сравнении поведения рангов по двум признакам параллельно. Если у каждой пары Х и У ранги совпадают, это характеризует максимально тесную прямую связь. Если же наблюдается полная противоположность рангов, т.е. в одном ряду ранги возрастают от1 до n, а в другом – убывают от n до 1, это максимально возможная обратная связь.

2. Коэффициент корреляции рангов Спирмэна рассчитывается по формуле:

Где d = N_X - N_У, т.е. разность рангов каждой пары значений Х и У;

n – число наблюдений.

3. Коэффициент корреляции рангов Кендэла определяется по формуле:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: