Метод вычисления критериев Сильвестера.

Применение критерия Сильвестера для определения экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей порядка. Рассмотрим один из возможных методов диагонализации матриц и соответственно получения треугольных определителей.Метод основан на последовательном понижении порядка определителя. При этом:

1.На каждом этапе понижения порядка определителя, удобная для применения вычислительной техники.

2.Получаемые в результате диагональные элементыопределителей являются элементами критерия Сильвестера и позволяют, так сказать, в “ходе вычисления” вести контроль знакоопределенности квадратичной формы.

В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей.

1.Известно, что

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

Впредь замена любого определителя второго порядка элементом a₁₁ назовем “сверткой” определителя.

2.Определитель порядка не изменится, если элементы какой-либо строки умножить (разделить) на какое-либо число, не равное нулю, и сложить (вычесть) с элементами другой строки.

Итак, рассмотрим определитель n-го порядка, составленный из вторых частных производных некоторой функции n– переменных f(x₁,x₂,…,x_n).

Положим a_ik= f_xixk ’’.Имеем

a₁₁ a₁₂… a_1n

_{…………………} (5.9)

a_n1 a_n2… a_nn

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_21/ a₁₁ и вычтем их из элементов второй строки.

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_31/ a₁₁и вычтем их из элементов третьей строки. …

Умножим в (5.9) элементы первой строки на a_n1/ a₁₁ и вычтем их из элементов последней строки.

Выполнив последовательно эти операции, получим

a₁₁ a₁₂ … a_1n

0 a₂₂- a₁₂ a_21/ a₁₁… a_2n -a_1n a_n1/ a₁₁

_{………………………………………………………} (5.10)

0 a_n2- a₁₂ a_n1/ a₁₁… a_nn- a_1n a_n1/ a₁₁

Умножим каждую строку в (5.10), начиная со второй на a₁₁,при этом определитель (5.10) умножится на a₁₁^n-2

1

----------- (5.11)

a₁₁^n-2

где

a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₃- a₁₃ a₂₁ … a₁₁ a_2n- a_1n a₂₁

a₁₁ a₃₂- a₁₂ a₃₁ a₁₁ a₃₃- a₁₃ a₃₁ … a₁₁ a_13n- a_1n a₃₁

………………………………………………… (5.12)

a₁₁ a_n2- a₁₂ a_n1 a₁₁ a_n3- a₁₃ a_n1 … a₁₁ a_nn- a_1n a_n1

Рассмотрим более внимательно элементы (5.12). Перепишем (5.12) в виде

a₁₁ a₁₂ … a_1n-1

a₂₁ a₂₂ … a_2n-1

_{…………………} (5.13)

a_n-11 a_n-12… a_n-1n-1

Из сравнения (5.12) и(5.13) видно, что

a₁₁ – есть свертка определителя a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

a₁₂ – есть свертка определителя a₁₁ a₁₃

a₂₁ a₂₃

…………………………………………………..

a_1n-1 – есть свертка определителя a₁₁ a_1n

a₂₁ a_2n

.

Таким образом, первая строка _1n-1 является сверткой элементов первых двух строк определителя _n. Более наглядно это можно сфрмклировать так: последовательно каждый “прямоугольник” элементов первой и второй строк заменяется его сверткой; причем первые элементы двух строк “участвуют” во всех прямоугольниках этих строк.

a₁₁ a₁₂ a₁₃… a_1n

a₁₁ a₁₂ a_1n-1

a₂₁ a₂₂ a₂₃… a_2n

Аналогично вторая строка определителя _n-1 является сверткой элементов первой и третьей строк исходного определителя.

a₁₁ a₁₂ a₁₃… a_1n

a₂₁ a₂₂ a_2n-1

a₃₁ a₃₂ a₃₃… a_3n

Наконец для последней строки _n-1 имеем

a₁₁ a₁₂ a₁₃… a_1n

a_{n-1 1} a_{n-1 2} a_n-1n-1

a_n1 a_n2 a_n3… a_nn

Если теперь применить те же опервции к определителю _n-1, т. е. к (5.13), получим

……

a₁₁^n-3 (5.14)

где

a₁₁ a₁₂ … a_{1 n-2}

a₂₁ a₂₂ … a_{2 n-2}

_{……………………………..}

a_{n-2 1} a_{n-2 2}… a_{n-2 n-2}

а элементы a_ik являются сверткой соответствующих определителей – прямоугольников.

Очевидно, повторяя эту операцию n–1 раз, получим следующую формулу, предварительно введя более простые обозначения:

a₁₁ = a₁– левый угловой верхний элемент

a₁₁ = a₂ – левый угловой верхний элемент

a₁₁ = a₃ – левый угловой верхний элемент

…………………………………………

a₁₁ = a_n – левый угловой верхний элемент.

С учетом этого

a_n

_{………………………..}

a₁^n-2 a₂^n-3… a_n-1 (5.15) n>2

Пример №1.

2 1 5 3

0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4

5 6 3 1 2² 2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 2² 7 –19 -13

0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6

4 7 2

7 –19 –13 1 4*(-19)-7*7 4*(-13)-2*7 1 -72-49 -52-14

2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8

1 -121 -66 1 -121 -66 1

4 -10 8 2 -5 4 2 (-121*4-66*5)= -121*2-33*5=

= -242 –165= -407

Пример №2.

3 0 2 1 5

0 4 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0

1 2 3 5 1 3³ 3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5

0 3 4 0 6 3*3-2*0 3*4-2*2 3*0-2*1 3*6-2*5

1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5

12 3 9 18 -30 66 -264-108

1 6 –1 10 -22 1 69 -105 96-162

3³ 9 8 -2 8 3³*12² 66 78 120-108

6 7 11 10

-30 66 -372 30*105-66*69 30*66+69*372

1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66 -30*12+66*372

3³*12² 66 78 12 3³*12²*(-30)

1 3150-4554 1980+25668 1 -1404 27648

3³*12²*(-30) -2340-4356 -360+24552 3³*12²*(-30) –6696 24192

-1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208

3³*12²*(-30) 3³*12²*30

31311360-182476800 15116544 15116544

3³*12²*30 3³*12² 3888

=3888

Вычесленные в порядке получения определителий _n, _n-1, …, ₂ их верхние левые угловые элементы a₁,a₂,…,a_n являются критерием Сильвестера в части знаков, т.е.

sign a₁₁=sign a₁

sign a₁₁=sign a₂=sign a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

………

a₁₁… a_1n

sign a₁₁=sign a_n=sign

………..

a_n1… a_nn

По сути метод дает возможность вычисления определителей. Однако нас интересуют лишь знаки определителей.Это существенно упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x₁,x₂,…,x_n). имеющую экстремум,а именно максимум в точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰).Это значит,что все коэффициенты a₁, a₂,…, a_n должны быть положительными. Поэтому процесс определения максимума функции в точке М₀ заканчивается на любом этапе понижения определителя,если после положительных a₁, a₂,…, a_k коэффициент а_k+1 стал отрицательным или нулевым.

Если же в точке М₀ – минимум, то коффициенты a₁, a₂,…, a_n образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно

a₁<0, a₂>0, a₃<0,…

Аналогично процесс прекращается, если нарушается эта знакопеременность.

Итак, общая схема выглядит следующим образом:

1.Определяются стационарные точки функции, в которых

2.Определяются коэффициенты а_ik в этих точках

²f

x_i x_r

3.Выясняем знак первого диагонального элемента а₁₁=а₁

а) если а₁₁>0, то все последующие элементы а₂,а₃,…,а_n должны быть положительными,если в точке М₀ действительно максимум

б)если а₁₁<0, то знаки последующих элементов а₂,а₃,…,а_n должны чередоваться, если в точке М₀ действительно минимум.

4.При нарушении какой-либо из закономерностей в п.3 процесс прекращается и формулируется вывод о том,что в точке М₀ экстремума нет.

Наконец отметим следующее важное обстоятельство. Так как коэффициенты а_ik являются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с непрерывными ²f/ x_i x_r в соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то а_ik= а_ki. Это важное свойство приводит к тому, что матрица (а_ik) является симметрической вместе со своим определителем а_ik Покажем, что учет этого факта сокращант объем вычислений по крайней мере вдвое.

Во-первых, покажем, что определитель _n-1 также остается симметрическим,т. е. применяется операция понижения порядка инварианта и сохраняет это свойство при переходе от _n-1 к _n и т.д.

Диагональные элементы любого определителя, очевидно, равны сами себе.

Рассмотрим произвольный элемент а_ik в определителе _n-1, i=k, i,k=1,2,…,n-1.

а_ik= а_ik – а_{1 k} а_1i / а₁₁ (*)

Если переставить индексы i,k,то

a_ki= а_ki – а_{1 i} а_1k / а₁₁ (**)

Сравнивая (*) и (**) видим, что из того, что а_ik= а_ki следует, что а_ik= а_ki. Этим доказано, что из того, что _n- симметрический определитель, определитель _n-1 также симметрический.Что это дает для вычисления _n-1?

Пусть вычислена первая строка коэффициентов а_1k (k=1,2,…,n-1) определителя _n-1, т.е.

а₁₁, а₁₂, а₁₃,…, а_1n-1

Теперь вычислим первый столбец, он имеет вид

а₁₁

а₂₁

а₃₁

_…..

а_{n-1 1}

Но ввиду симметричности коэффициентов, этот столбец совпадает со строкой. Другими словами, сосчитав элементы первой строки, первый столбец уже считать нет необходимости, его нужно просто записать. Для наглядности запишем

a₁₁ a₁₂ … a_{1 n-1}

a₂₁ a₂₂… a_{2 n-1}

_{………………….}

a_n1 a_n2… a_{n-1 n-1}

Вычислим теперь элементы второй строки, начиная с а₂₂,т.е. а₂₂, а₂₃, а₂₄,…, а_{2 n-1}.Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом, начиная с а₂₂,т.е.

а₂₂

а₃₁

_…..

а_{n-1 2}

Итак, второй столбец автоматически заполняется элементами второй строки.Т.е. иммем

a₁₁ a₁₂ а₁₃ … a_{1 n-1}

a₂₁ a₂₂ а₂₃ … a_{2 n-1}

_n-1= a₃₁ a₃₂ а₃₃ … a_{3 n-1}

…………………………..

a_{n-1 1} a_{n-1 2} a_{n-1 3} … a_{n-1 n-1}

И т.д.

Общий вывод: необходимо расчитать лишь правую треугольную часть элементов. Нижняя же левая часть определителя заполняется автоматически. Формально ее можно вообще не заполнять, т.е. оставлять в виде

a₁₁ a₁₂ а₁₃ … a_{1 n-1}

a₂₂ а₂₃ … a_{2 n-1}

_n-1= а₃₃ … a_{3 n-1} (5.16)

…………..

a_{n-1 n-1}

Отсюда для получения следующегоопределителя можно применить правило, условно назовем, треугольника.

a₁₁= a₁₁ a₂₂- a₁₂²

a₂₂= a₁₁ a₃₃- a₁₃² и т.д.

Для недиагоналных элементов схема несколько сложнее

a₁₂= a₁₁ a₂₃- a₁₃ a₁₂ a₁₁ a₁₂ а₁₃

а₂₃ и т.д.

Пример №3.

Исследовать на экстремум функцию z=x³+y³-3xy

1.Находим

z z

---- и ----

y x

z

---- = 3x²-3y

y

z

---- = 3y²-3x

x

2.Находим стационарные точки, решая систему

3x²-3y=0

3y²-3x=0

Получили две стационарные точкм (0;0) и (1;1).

3.Находим

²z ²z ²z

------- --------- --------

x² y² x y

²z ²z ²z

------- =6x --------- =6y -------- = -3

x² y² x y

4.Для точки (0;0) имеем

a₁₁=0 a₂₂=0 a₁₂= a₂₁= -3

Для точки (1;1) иммем

b₁₁=6 b₂₂=6 a₁₂= a₂₁= -3

5.Находим

a₁₁ a₁₂ 0 -3

a₂₁ a₂₂ -3 0

b₁₁ b₁₂ 6 -3

b₂₁ b₂₂ -3 6

Так как <0, то в точке (0;0) экстремума нет.

Так как >0 и a₁₁>0, то (1;1) – точка минимма функции, причем z_min = -1.

Пример №4.

Исследовать на экстремум функцию w=x^2/3+y^2/3+z^2/3

Ищем критические точки

2 2 2

w`<sub>x</sub>= ------ w`_y= --------- w`_z= ----------

3 ³ x 3 ³ y 3 ³ z

Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность) в точке P₀(0;0;0). Точка P₀ лежит внутри области определения функции w, которая представляет совокупность всех точек (x;y;z) пространства. Поэтому P₀ критическая точка.

Исследуя знак разности w(P)-w(P₀)= x^2/3+y^2/3+z^2/3 вблизи точки P₀, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях x,y,z она сохраняет положительный знак. Поэтому P₀ есть точка минимума, w_min=w(P₀)=0

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: