Растрата урочного времени на доказательство теорем и аксиом.

Дайте себе откровенный ответ на такие вопросы:

Требуете ли Вы, чтобы Ваши ученики учили доказательства теорем и аксиом?

Сколько раз Вы используете на уроках конкретно выученные доказательства для решения задач?

Сколько учеников знают хоть одно доказательство к концу года?

Думаю, что положительных ответов почти нет! Тогда хочется задать последний вопрос. Зачем вы добиваетесь этого?

Ответы могут быть разные. Безусловно, для сильных учеников математических классов такие доказательства бывают необходимыми, но сейчас мы говорим об уроках в обычной школе и в обычном классе, для учеников среднего уровня.

Есть задачи, в решении которых необходимо применять метод доказательства, но в этом случае, достаточно брать за основу определения этих теорем или аксиом, а не их конкретные доводы.

В большинстве случаев ученики не могут понять даже смысла формулировки самой теоремы или аксиомы, или какого-то следствия. Выполните сначала обучение смыслового понятия, а затем покажите где и в каких случаях это может применяться, составьте таблицу основных применений – это и будет эффективный и нужный шаг к познанию геометрии.

Решение геометрических задач – основная часть урока.

Как проходит решение задач на обычном уроке, в обычном классе?

Я не хочу тратить время на опись вызова учеников к доске для решения заданий. Они, будто, бывают разные, но отличаются мало чем.

Думаю, Вы все тратите большую часть урока на некую форму записи решений этих различных задач.

- А как по-другому, - спросите Вы?

Сначала надо научиться решать, а потом записывать. Я могу целое занятие с учениками, решать все задачи устно. Не подумайте, что для этого я использую задачи с надписью «решить устно».

Для такого решения, ребята выполняют обязательный рисунок, иногда используют черновик, или записывают основные формулы алгоритма решения, этого достаточно для утрамбовки знаний. Чем больше опыта, тем лучше навык!

Алгоритм решения в порядке формул, используют многие опытные учителя. Я к этому методу добавила ещё особый вид построения рисунка к данной задаче. Построенный рисунок может влиять на решение задачи от 50%, до 100%. Об этом я и хочу рассказать.

Какой же рисунок должен быть правильным?

Давайте сравним построение двух рисунков для одной задачи.

Задача №1.

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, и является биссектрисой её острого угла. Найдите углы трапеции.

Для решения данной задачи, выполняется короткая запись условия и построение необходимых рисунков. Пример стандартных рисунков на уроках, это №1 или №2.

Далее выполняется разборка решения. Иногда учитель даёт время учащимся для обдумывания.

Уточню сразу, что работая с рисунком №1 или 2, решить задачу смогут только подготовленные или сильные ученики. Они обычно выходят к доске и записывают решение почти без объяснения. При этом, ни один слабый ученик, не поймёт, как решилась эта задача. Он не будет сопоставлять запись решения с рисунком, тем более, что он не знает, как это должно выглядеть.

Предлагаю другой вариант построения рисунка к данной задаче.

С помощью «алгоритма решения геометрических задач», строится рисунок, который покажет конкретное решение большинства задач от начала и до конца. Этого рисунка бывает достаточно, для устного решения, чтоб не растрачивать много времени на запись. Значит, необходимо иметь некий алгоритм, с которым сейчас мы и познакомимся, на примере решения данной задачи.

Перечитывая внимательно условие задачи, отмечаем все величины, данные в условии, на рисунок.

В нашем условии не было ни одной величины, которую мы могли бы отметить, по этому, перейдём к необходимому для нас пункту.

2. Рядом с рисунком обязательно требуется отметить: ЧТО НАДО НАЙТИ.

Справа на рис.3, выполнена нужная запись.

3. Так же на рисунке отметим свойства некоторых слов и выражений с данного условия. (Пример: биссектриса, медиана, высота, равнобедренный треугольник, вписанная окружность и т. д.)

Теперь видно, почему на рисунках №2 и 3 отмечено равенство углов АВС и <ACD. Далее можно записать величину прямого угла, или просто поставить отметку, как на рисунке №2. Некоторым ученикам больше нравится ставить величину 90⁰, так надёжнее.

4. Какие последствия могут выявиться из отмеченных на рисунке свойств?

Здесь часто рассматриваются разные признаки и свойства сторон, углов, иногда и фигуры. В нашем случае, проверяя углы, мы нашли признаки параллельности прямых и секущей.

Мои ученики учат эти признаки значками, так они хорошо запоминаются. Все найденные отметки Вы видите на рисунке №3. С этого момента, уже 50% учащихся смогут выполнить решение задачи до конца. Для остальных детей требуется ещё один пункт алгоритма.

5. Какие ЕЩЁ обозначения на рисунке помогут мне найти неизвестное, или его решение?

Этот пункт даёт нам право, выложить на рисунок любые вспомогательные обозначения, для лёгкости понимания, что мы и сделали, отметив самые меньшие углы переменной (х). При таком действии, рис.3 превращается в рис. 4.

Далее эту задачу не смогут решить только те, кто не знает свойства равнобокой трапеции, или те же признаки параллельности двух прямых. Повторять решения задач, так же лучше по условным, уже готовым рисункам, чем перечитывать записи решений.

Теперь основной целью Вашего урока может стать обучение детей выполнять правильные рисунки к задачам, используя «алгоритм решения геометрических задач».

Алгоритм решения геометрических задач:

Перечитывая внимательно условие задачи, отмечаем все величины, данные в условии, на рисунок.

2. Если в условии имеются величины, которые невозможно изобразить на рисунке, то записываем формулу этой величины и чему она равна, чтоб в дальнейшем использовать её как уравнение с неизвестным.

(Пример. Часть условия: … площадь квадрата равна 25 см² …

Запись: АВ² = 25, вместо записи S = 25см².

С первой записи ученикам ясно, что надо искать, со второй, ясно не всем.

3. Рядом с рисунком обязательно требуется записать: ЧТО НЕОБХОДИМО НАЙТИ. Если эта величина не угол, не отрезок, запишем её формулу (аналогично пункту 2).

4. Так же на рисунке отметим свойства некоторых слов и выражений с данного условия. (Пример: биссектриса, медиана, высота, равнобедренный треугольник, вписанная окружность и т. д.)

5. Какие последствия могут выявиться из отмеченных на рисунке свойств?

6. Какие ЕЩЁ обозначения на рисунке помогут мне найти неизвестное, или его решение?

7. Выполняем решение:

Что надо найти?

В какую фигуру входит отрезок или угол, который надо найти?

Что в этой фигуре известно?

Что неизвестно и тоже надо найти?