Целые числа (аксиоматический подход)

Основные неопределяемые понятия арифметики целых чисел: основные объекты – целое число, нуль и основное отношение: «непосредственно следует за».

Система аксиом А1-А4 для целых чисел:

А1. Нуль есть целое число. (Нуль обозначим символом 0.)

А2. Каково бы ни было целое число п существует одно и только одно целое число п', непосредственно следующее за п.

А3. Каково бы ни было целое число п, существует одно и только одно целое число 'п, для которого п является непосредственно следующим.

По определению это число 'п называется непосредственно предшествующим числу п.

А4. Если какое-нибудь подмножество М целых чисел обладает следующими двумя свойствами:

а) оно (М) содержит какое-нибудь целое число;

б) содержа какое-нибудь целое число п, оно содержит и непосредственно следующее за п число п', и число 'п, для которого число п является непосредственно следующим, то это множество М есть множество всех целых чисел (т. е. М = Z .).

То есть мы имеем сначала ряд:..., а, в, с, d, к, f,..., выделяем 0, пусть d – это 0. Имеем..., а, в, с, 0, к, f,..., определяем непосредственно следующие элементы:..., а, в, с, 0, 1, 2, 3,..., определяем непосредственно предшествующие элементы:..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,.... Получаем множество Z.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: