Угловой скорости твердого тела

Однородная пластина H массой вращается вокруг верти­кальной оси z с по­стоянной угловой скоростью ; при этом в точке О желоба АВ пластины на расстоянии АО от точки А, от­считываемом вдоль же­лоба, закреплена материальная точка К массой (рис. 23−27). В некоторый момент времени (t = 0) на сис­тему начинает действовать пара сил с моментом . При действие пары сил прекращается и далее пластина враща­ется по инерции с угловой скоростью . В некоторый момент времени 0 (новое начало отсчета времени) точка К (самоходная тележка) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении к В) по закону ОК .

Определить значения и угловой скорости пластины в моменты времени и , пренебрегая сопротивлениями вращению пластины и массой вертикального вала. Необходимые для решения данные приведены в табл. 4, а требующиеся для расчетов моменты инерции тел – в табл. 5.

Примечание. В таблице 4 знак минус перед и соответствует направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z.

Пример выполнения задания (рис. 28). Дано:

кг; кг; H·м; рад/с; м;

м; с; м; с.

Определить и , счи­тая тело H однородной круг­лой пластиной, а вал ED невесомым.

Решение. Объект исследования – механическая система, состоящая из пластины Н с валом и материальной точки К. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетического мо­мента механической системы

Рис. 23

Рис. 24

Рис.25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

, (1)

где кинетический мо­мент рассматриваемой системы относительно оси z; − главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно этой оси.

На систему за время от до t = действуют сила тяжести пластины, сила тяжести точки К, пара сил с моментом , а также реакции подпятника Е и подшипника D (рис. 28, а).

Предположим, что вращение пластины Н происходит против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного напра­вления оси z; будем считать это направление вращения положительным при определении знаков кинетических моментов.

Найдем выражение кинетического момента системы, кото-

рый складывается из кинетического момента пластиныи кинетического момента точки К, являющегося моментом ее количе­ства движения относительно оси , т. е. .

Момент инерции круглой однородной пластиныотносительно оси вращения, проходящей через ее центр масс, равен . Тогда кинетический момент пластины .

Материальная точка К, закрепленная в точке О пластины, имеет скорость где − хорда окружности радиуса а, стягивающая дугу длины , поэтому центральный угол и треугольник является равносторонним со стороной, равной (рис. 28, a). Тогда

Таким образом,

.

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту , так как остальные силы системы момента относительно оси z не создают.

Уравнение (1), выражающее теорему об изменении кинетического мо­мента, примет вид:

, (2)

где (c = 240 Н·м/с).

В уравнении (2) разделим переменные

и проинтегрируем левую и правую части уравнения в соответствующих пределах

(3)

Из уравнения (3) получим

рад/с.

После прекращения действия момента пластина H вращается по инерции с угловой скоростью ; при этом к системе приложены силы а также реакции подпятника и подшипника

(рис. 28, б).

Те же внешние силы действуют на систему и в течение промежутка времени от до при движении самоходной тележки К.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического мо­мента системы, имеет для этого периода времени вид:

т. е.

Определим значения кинетических моментов при и при и приравняем эти значения.

Для

кг·м²/с.

При >0 скорость точки К складывается из относительной скорости по отношению к пластине H и переносной скорости в движении вместе с пластиной. Поэтому для покажем два вектора количества движения точки: и (рис. 28, б).

В момент времени с , тогда центральный угол , и точка К попадает в точку B пластины, поэтому

(4)

где момент инерции ; расстояние (как гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника ); относительная скорость

Тогда при с из выражения (4) получим

.

Приравнивая и , находим:

, откуда рад/с.

Ответ: рад/с; рад/с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: