Механической системы с одной степенью свободы

Для заданной механической системы с помощью общего уравнения динамики определить ускорения гру­зов и центров масс катков, а также силы натяжения нитей, к которым прикреплены эти элементы системы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Варианты механических систем показаны на рис. 60−64, а

Рис. 60

Рис. 61

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 64

не­обходимые для решения данные приведены в табл. 11.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не

ука­заны, считать сплошными однородными цилиндрами.Все катки, включая и катки, обмотанные нитями, перемещаются по опорным поверхностям без скольжения.

Пример выполнения задания (рис. 65). Дано:

радиус инерции барабана 2 относительно неподвижной оси вращения ; Определить ускорения гру-

Рис. 65

за 1 и центра масс катка 3, а такжесилы натяжения ветвей 1 −2 и 2−3 нитей.

Решение. В качестве объекта исследования рассмотрим движущуюся механическую систему, состоящую из груза 1, барабана 2 и катка 3. Для определения искомых ускорений на основании принципа Даламбера – Лагранжа составим общее уравнение дина­мики рассматриваемой системы. Система приходит в движение из состояния покоя, поэтому направления ускорений тел соответствуют направлениям их движе­ния.

Положим, что при движении системы груз 1 опускается вниз по наклонной плоскости (рис. 65).

На механическую систему действуют следующие активные силы: силы тяжести −груза 1, − барабана 2, − катка 3.

Ввиду того, что среди связей, наложенных на систему имеется неидеальная (шероховатая наклонная плоскость, по которой скользит груз), при составлении общего уравнения динамики ее реакция – сила трения скольжения учитывается наряду с активными силами системы. При этом необходимо правильно показать направление силы трения.

Если в результате решения задачи иско­мое ускорение получается отрицательным, значит, в рассматриваемом случае направление движения системы выбрано ошибочно и поэтому расчет необходимо повторить, изменив направление силы трения и внеся соответ­ствующие поправки в общее уравнение динамики.

В соответствии с принципом Даламбера – Лагранжа реак­ции идеальных связей системы не учитываются и на расчетной схеме не показываются.

Добавим к действующим на систему силам силы инерции элементов системы, приведя их к простейшему виду. Силы инерции груза 1, движущегося поступательно с ускорением , приводятся к равнодействующей , направленной противоположно этому ускорению и приложенной в центре масс груза. Силы инерции барабана 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , приводятся к паре с моментом , направленным в сторону, противоположную этому угловому ускорению. Силы инерции катка 3, совершающего плоское движение, приводятся к главному вектору , направленному противоположно ускорению центра масс катка и приложенному в этом центре, и главному моменту относительно центральной оси катка, направленному в сторону, противоположную угловому ускорению катка.

Для определения ускорения груза 1 применим общее уравнение динамики:

, (1) где − сумма элементарных работ активных сил;

− сумма элементарных работ сил инерции.

Зафиксировав систему в текущем положении и сообщив ей возможное перемещение, допускаемое связями (рис. 65, б), составим уравнение (1):

(2)

где и − возможные перемещения груза и центра масс катка;

и − углы поворотов барабана и катка.

Поскольку зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями, выразим скорость центра масс катка и угловые скорости барабана и катка через скорость груза:

; ;

Так как каток катится без скольжения, то точка его контакта с неподвижной наклонной плоскостью является мгновенным центром скоростей катка и поэтому

.

Аналогичные зависимости имеют место и между возможными перемещениями:

(3)

Теперь, дифференцируя полученные выше соотношения, связывающие , и со скоростью , получим зависимости между угловыми ускорениями и барабана и катка, а также ускорением центра масс катка и искомым ускорением груза:

. (4)

Уравнение (2) с учетом соотношений (3) принимает вид

или, сокращая на , получим:

. (5)

Учитывая соотношения (4) и исходные данные задачи

,

вычислим модули сил инерции , и моментов пар , через искомое ускорение , а также модуль силы трения скольжения :

;

; ;

;

и подставим вычисленные величины в уравнение (5):

.

Отсюда м/с²; м/с².

Для определения силы натяжения ветви 1−2 нити в качестве объекта исследования рассмотрим груз 1, заменяя действие нити на него соответствующей реакцией (рис. 66, а).

Рис. 66

Общее уравнение динамики в этом случае имеет следующий

вид:

откуда

Для определения силы натяжения нити 2−3 рассмотрим каток 3 как объект исследования и заменим действие на него нити соответствующей реакцией (рис. 66, б).

Общее уравнение динамики, составленное для катка 3, имеет вид:

.

Отсюда

и .

Ответ: м/с²; м/с²; ; .

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ

И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: