ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Дәріс конспекті. Дәріс тақырыбы: Итерациялық әдістермен режим күйінің теңдеулерін шешу

⇐ Предыдущая 12 13 14 15 161718 19 20 21 Следующая ⇒

Дәріс тақырыбы: Итерациялық әдістермен режим күйінің теңдеулерін шешу. Қарапайым итерация әдісі. Зейдель әдісі.

Итерациялық әдістермен режим күйінің теңдеулерін шешу

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері тізбектелген жақындаулар немесе итерация деп аталатын бір типті есептеу қадамдарын бірнеше рет орындау нәтижесінде ізделетін белгісіздердің мәндерін алуға мүмкіндік береді.

Тура әдістерге қарағанда, ал оның қатарына Гаусс әдісі кіреді, шешімді тек берілген шектік дәлдікпен ғана алуға болады, және бұл кезде талап етілетін дәлдіктің артуына байланысты итерация саны да артады.

Итерациялық процесте сызықты теңдеулер жүйесінің А коэффициенттер матрицасы түрлендірілмейді, демек матрицаның толығымен толтырылмағанын қолдануға мүмкіндік береді.

Бұл, өз кезегінде, Гаусс әдісінің әр қадамына қарағанда әр итерацияда есептеулер көлемінің төмендеуіне әкеледі.

Бірақ итерацияның жалпы саны есептелінетін теңдеулер жүйесінің n ретінен елеулі үлкен болуы мүмкін.

Осыған байланысты итерациялық әдістер есептеу тиімділігі бойынша Гаусс әдісіне қарағанда төменірек болады, әсіресе бұл А матрицасының толығымен толтырылмауын ескерумен алгоритмді құрған кезде көбірек байқалады.

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің екі итерациялық әдісін қарастырайық – қарапайым итерация әдісі және Зейдель әдісі.

Бұл әдістер орныққан режимнің бейсызықты теңдеулерін шешудің электрлік жүйенің түйіндерінде қуат пен кернеуді байланыстыратын қарапайым жалпылауды ескереді.

Электрлік жүйенің орныққан режимінің бейсызықты теңдеулерін шешудің итерациялық процесінің көптеген қасиеттері күйінің сызықты теңдеулерін шешудің қарапайым әдісін қарастыру арқылы түсіндіріледі.

Қарапайым итерация әдісі.

Бастапқы сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі

a₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а₁_nx_n = b₁

a₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а₂_nx_n = b₂

……………………………..

a_n₁х₁ + а_n₂х₂ + … + а_nnx_n = b_n

келесі шарт міндетті түрде орындалғанда a_ii ¹ 0, i = 1, …, n,

келесі түрге түрлендіріледі:

х₁ = (1/a₁₁)(b₁ – а₁₂х₂ – … – а₁_nx_n)

х₂ = (1/a₂₂)(b₂ – а₂₁х₁ – … – а₂_nx_n)

…………………………….. (3.3)

x_n = (1/a_nn)(b_n – а_n₁х₁ – … – а_n₍_n_-1)x_n_-1)

Түрлендірілген жүйе этаппен шешіледі:

1) белгісіздердің бастапқы (нөлдік) мәндері беріледі x_i⁽⁰⁾, i=1, …, n;

2) х_i⁽⁰⁾ мәндері теңдеулердің оң жағына қойылады да белгісіздердің келесі жақындаулары анықталады x_i⁽¹⁾, i=1, …, n;

3) алынған x_i⁽¹⁾ мәндерін қою арқылы келесі жақындаулар анықталады және т.с.с..

Сонда итерациялық процестің k қадамында жүйе келесі түрге ие болады:

х₁⁽^k⁾ = (1/a₁₁)(b₁ – а₁₂х₂⁽^k^-1) – … – а₁_nx_n⁽^k^-1))

х₂⁽^k⁾ = (1/a₂₂)(b₂ – а₂₁х₁⁽^k^-1) – … – а₂_nx_n⁽^k^-1))

……………………………..

x_n⁽^k⁾ = (1/a_nn)(b_n – а_n₁х₁⁽^k^-1) – … – а_n₍_n_-1)x_n_-1⁽^k^-1))

Итерациялық процесс екі іргелес итерацияда алынған x_i мәндері шешудің берілген e қателігінің шамасынан кем болғанша дейін жалғасады, яғни келесі шарта орындалғанша

|x_i^(k+1) – x_i^(k)| < e, i = 1, … n. (3.4)

Кез-келген шешу дәлдігінде (3.4) шарты орындалуы үшін, яғни e мәні қаншалықты аз болса да, келесі шарт орындалуы қажет:

(3.5)

мұнда x_i^* - бастапқы теңдеулер жүйесінің дәл шешімдері.

(3.5) орындалғанда x_i⁽⁰⁾, i = 1, ..., n еркін бастапқы жақындаулар үшін итерациялық процесс сәйкеседі деп аталады, немесе итерациялық процесс шешімге әкелмейді де сәйкеспейді деп аталады.

х⁽⁰⁾ бастапқы жақындаулардың кез-келген бағанында матрицалық қатынасы шарты болып табылатын итерациялық процесс сәйкестігі үшін жеткілікті сәйкестік шартының орындалуы қажет:

(3.6)

немесе жалпы түрде

(3.7)

мұнда p_i, p_j – оң және нақты сандар.

Дербес жағдайда p_j = 1, j = 1, ..., n болғанда, (3.7) шарты (3.6) шартына ауысады. Бірақ егер (3.6) жеткілікті сәйкестік шарты орындалмаса, онда кей жағдайда (3.7) шарты орындалатын p_jмәндерін табуға болады.

Зейдель әдісі.

Бұл әдіс қарапайым итерация әдісі сияқты (3.3) түріне келтірілген теңдеулерді қолдануға негізделеді. Бірақ қарапайым итерация әдісіне қарағанда, итерациялық процестің әр k қадамында i айнымалысын есептеу үшін алдыңғы (k-1) қадамында және осы қадамда есептелген айнымалылардың мәндері қолданылады. Бұл кезде итерациялық процестің k қадамында (3.3) жүйесі келесі түрге ие болады:

х₁⁽^k⁾ = (1/a₁₁)(b₁ – а₁₂х₂⁽^k^-1) – … – а₁_nx_n⁽^k^-1))

х₂⁽^k⁾ = (1/a₂₂)(b₂ – а₂₁х₁⁽^k⁾ – а₂₃х₃⁽^k^-1)… – а₂_nx_n⁽^k^-1))

х₃⁽^k⁾ = (1/a₃₃)(b₃ – а₃₁х₁⁽^k⁾ – а₃₂х₂⁽^k⁾ – а₃₄х₄⁽^k^-1) … – а₃_nx_n⁽^k^-1)) (3.8)

……………………………..

x_n⁽^k⁾ = (1/a_nn)(b_n – а_n₁х₁⁽^k⁾ – … – а_n₍_n_-1)x_n_-1⁽^k⁾)

Қарапайым итерация әдісінің жеткілікті сәйкестік шарттары Зейдель әдісі үшін де жеткілікті болып табылады.

Егер бұл шарттар орындалса, онда Зейдель әдісі бойынша процесс сәйкеседі, және қарапайым итерация әдісіне қарағанда жылдам болады, яғни белгісіздердің бастапқы жақындаулары бірдей болған кезде және берілген дәлдіктің бірдей берілуінде, Зейдель әдісі бойынша есептеу аз итерация санында орындалады.

Электрлік жүйе күйінің сызықты теңдеулерін шешу тәжірибесі жеткілікті сәйкестік шарттары орындалмаған кезде де Зейдель әдісі қарапайым итерация әдісімен салыстырғанда жылдамырақ сәйкестігімен сипатталады.

Зейдель әдісі де, қарапайым итерация әдісі де әр уақытта шешімді алуға мүмкіндік бермейді, себебі сәйкес итерациялық процестің сәйкестігі орын алуы мүмкін.

Бұл кезде сәйкестік шарттары (немесе сәйкеспеу шарттары) А текматрицасының қасиеттерімен ғана анықталады және бастапқы жақындауларға, сол сияқты оң жағындағы b бағандарға тәуелді емес.

Соңғы екі фактор берілген дәлдікпен шешімді алу үшін қажетті итерация санына ғана әсер етеді.

Бастапқы теңдеулер жүйесін қарапайым эквивалентті түрлендіру көмегімен (яғни шешімін өзгертпейтін түрлендірулер) Зейдель әдісін қолданған кезде итерациялық процестің сәйкестігін қамтамасыз етуге болады.

Оң анықталған А матрицасында Зейдель әдісі бойынша итерациялық процесс сәйкеседі.

Демек, А матрицасы оң анықталған болса, онда сәйкестік міндетті түрде орын алады; егер олай болмаса, онда сол жағынан А түрлендірілген матрицаға көбейту арқылы, яғни Ах=b жүйесінен A_tAx=A_tb жүйесіне немесе

A'x = b', (3.9)

мұнда А' = А_tА; b' = A_tb.

жүйесіне ауысу арқылы эквивалентті оң анықталған коэффициенттер матрицасына келтіруге болады

Егер бастапқы жүйе шешімге ие болса, яғни А – ерекше емес, онда А ' оң анықталған болады және Зейдель әдісі бойынша итерациялық процесс шешімге сәйкеседі.

Теңдеулер жүйесінің (3.9) түріне түрлендірілуі Зейдель әдісінің сәйкестігін қамтамасыз етуге мүмкіндік береді, бірақ бұл кезде практика үшін келесі екі факторды ескеру қажет:

1) А түрінен А ' түріне ауысу кезінде есептелетін теңдеулер жүйесінің коэффициенттер матрицасының толықтырылуы (нөлдік элементтер орнына нөлдік емес элементтер пайда болады) орын алады, яғни итерациялық процестің әр қадамында есептеулер көлемінің және ЭЕМ жады көлемінің артуына әкеледі;

2) итерациялық процестің шешімге сәйкестігі өте баяу болуы мүмкін, ал бұл әдістің тиімділігін бағалауға елеулі әсерін тигізеді. Итерациялық процестің сәйкестігі өз бетінше әдісті практикалық қолданудың мақсаттылығы жайлы мәлімдеуге жеткілікті негіз болып табылмайды.

Негізгі әдебиет 11[1-100],

Қосымша әдебиет 1 [430-440]

Бақылау сұрақтары:

1. Қарапайым итерация әдісі.

2. Зейдель әдісі.

3. Бас диагональ схемасы.

4. Сәйкестік критерийі және итерациялық процестің аяқталу шарты.

5. Итерациялық процестің сәйкестігі.

⇐ Предыдущая 12 13 14 15 161718 19 20 21 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных