Логические функции. Описание логических функций с помощью таблиц истинности. Базовые логические функции.

Логические функции. Логической функцией называется функция, которая как и ее переменные может принимать только два значения – ноль или единицу. Логическая величина характеризует два взаимоисключающих понятия: есть и нет, включено и выключено и т.п. Если одно из значений логической величины обозначено через х, то второе обозначают через (не х). Логические функции выражают зависимость выходных переменных от входных. Эти функции, в зависимости от числа входных переменных, делятся на функции одной, двух или многих переменных. Логические функции и логические операции над ними – предмет алгебры логики (булевой алгебры).

Для операций с логическими выражениями используются законы алгебры логики. В качестве примера, приведем некоторые из часто используемых.

Закон нулевого множества:

0 + а = а; 0 · а = 0; 0· а ·в … · i = 0.

Закон универсального множества:

1 · а = а; 1 + а = 1; 1 + а + в … ·+i = 1.

Закон идемпотентности (повторения, тавтологии):

а ∙ а = а; а ∙ а…∙ а = аⁿ; а + а = а; а + а…+ а = а.

Закон двойной инверсии:

Законы дополнительности:

- логическое противоречие

- закон исключенного третьего

Дистрибутивные (распределительные) законы:

а (в + с) = ав + ас; а + в с = (а + в) (а + с).

Законы поглощения:

а (а + в) = а; а (а + в) (а + с) = а; а + а ∙ в + а ∙ с …+ а ∙ w = а.

Законы склеивания(распространения):

а ∙ в + а = а; (а + в) (а +) = а.

Закон Де Моргана:

Другой способ определения логических функций основывается на задании логической функции с помощью таблицы истинности путем сопоставления каждому набору входных переменных определенного значения функции – логического нуля или логической единицы. Различные комбинации значений входных переменных в логических функциях называются наборами. Функция является полностью заданной, если указаны её значения на всех её наборах. Число наборов m для n входных переменных определяется выражением m = 2ⁿ .

В таблице 6.1 в качестве примера показано задание логической функции f от двух логических переменных а и в.

Базовые логические функции.

В булевой алгебре над переменными могут производиться три основных действия:

1. Логическое сложение — дизъюнкция или функция ИЛИ: y = x₁ + x₂ или

y = x₁ V x_2. Эта функция определяется так: y = 1, если x₁ = 1 или x₂ = 1, а также если

x₁ = 1 и x₂ = 1.

2. Логическое умножение — конъюнкция или функция И: y = x₁ · x₂ или

y = x₁ ^ x₂ Определяется так: y = 1, если только одновременно x₁ = 1 и x₂ = 1.

3. Логическое отрицание — инверсия или функция НЕ: если понятие «не x» обозначить буквой y, то y = .

Сочетание функций ИЛИ и И с инверсией приводит дополнительно еще к двум комбинированным функциям:

1. Функция отрицания логического сложения ИЛИ-НЕ: y = x₁ + x₂. Второе название - «стрелка Пирса» - y = x₁ ↓ x₂.

2. Функция отрицания логического произведения И-НЕ: y = x₁ ∙ x₂. Второе название «штрих Шеффера» y = x₁ ∕ x₂.

Последние две функции — самые распространенные, так как на их основе можно реализовать любую логическую функцию, в том числе и простейшие – ИЛИ, И, НЕ.

Кроме рассмотренных логических функций к базовым функциям можно отнести еще ряд функций, появление которых связано с развитием цифровой и микропроцессорной техники. Такой функцией, например, является логическая функция «исключающая ИЛИ». По другому – «сумма по модулю два» (сумма по mod 2). Эта логическая функция находит применение в микропроцессорной технике для построения n –разрядных сумматоров для проведения операций математического сложения и вычитания.

На рис. 7.1 приведено условное графическое обозначение базовых логических функций, а в таблице 7.2 – таблица истинности рассмотренных логических функций.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: