Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Рассмотрим частный случай системы (16.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = п. Система уравнений имеет вид

(16.6)

Составим квадратную матрицу А порядка п этой системы:

(16.7)

В матричной форме система уравнений (16.6) имеет вид (16.4):

где матрицы X и В имеют размер n xl. Пусть матрица системы А является невырожденной, т.е. существует обратная матрица А ^-1. Умножив обе части этого уравнения слева на А ^-1, получаем решение системы (16.6) в матричной форме:

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по формулам (15.4) и (15.12). В случае когда порядок п матриц А и А ^-1 достаточно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень сложным.

Другой метод решения системы уравнений (16.6) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:

(16.10)

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе j -й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим :

(j)
	(16.11)

Теорема 16.2 (теорема Крамера). Пусть — определитель матрицы системы A, a — определитель, полученный из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если , система линейных уравнений (16.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам

(16.12)

Доказательство. Запишем в развернутом виде форму матричного решения системы (16.9). Из вида обратной матрицы (15.12), а также из определения умножения матрицы на число следует, что столбец неизвестных X выражается по формуле:

Выполнив умножение матриц в правой части этого равенства, мы имеем равенство двух матриц-столбцов, из которого, приравнивая соответствующие элементы, получаем систему равенств — выражений для неизвестных х_j:

Но по теореме 15.1 (см. параграф 15.1) сумма в скобках правой части этого равенства представляет собой разложение определителя по j -му столбцу, в котором стоят элементы столбца свободных членов, а остальные столбцы этого определителя такие же, как и в определителе системы . Иными словами, эта сумма и есть определитель . Теорема доказана.

Формулы вычисления неизвестных (16.12) — решения системы (16.6) — носят название формул Крамера.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: