Практикум по разделу «Системы линейных алгебраических уравнений».

I. Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте определение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Дайте определение решения системы линейных алгебраических уравнений.

3. Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений.

4. Каким образом записывается система линейных алгебраических уравнений в матричной форме.

5. В чем заключается метод обратной матрицы решения системы линейных алгебраических уравнений.

6. Как решать систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

7. В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений и каковы его преимущества перед другими методами.

II. Решение упражнений и задач.

Задача 1. Найти решение системы уравнений

Составим и вычислим определители системы и (j = x, y, z):

, , , .

Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам (16.12):

Задача 2. Выпишем расширенную матрицу системы уравнений, приведенную в задаче 1; справа в скобках укажем числа, на которые умножается соответствующая строка матрицы, с тем чтобы сложить ее с другими строками. Горизонтальными стрелками показаны переходы к расширенным матрицам эквивалентных систем. Первую строку расширенной матрицы исходной системы умножаем последовательно на (–2) и (–1) и прибавляем ее соответственно ко 2-й и 3-й строкам этой матрицы. После первого шага, состоящего в "обнулении" первого столбца, согласно формуле (16.15), получаем (номера шагов показаны над стрелками перехода):

Второй шаг прямого хода метода Гаусса состоит в операциях с преобразованной расширенной матрицей: прибавляем вторую строку, умноженную на (–3), к 3-й строк

Последний вид расширенной матрицы является конечным этапом прямого хода метода [см. формулу (16.22)], после чего приступаем к обратному ходу, т.е. находим неизвестные, начиная с последнего. Полученная расширенная матрица соответствует системе уравнений

которая эквивалентна исходной системе. Отсюда последовательно находим: z = –1/2, у = 0, х = 1–0 – (–1/2) = 3/2.

Задача 3. Найти решение системы уравнений

Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода метода Гаусса. Получаем:

Последняя нулевая строка в расширенной матрице, полученной после третьего шага, появилась из-за того, что в исходной системе четвертое уравнение является суммой первого и третьего уравнений. Система совместная, и после удаления нулевой строки заключительный вид расширенной матрицы соответствует системе трех уравнений с четырьмя неизвестными (ранг системы меньше числа неизвестных). Полагая х ₄свободной переменной, получаем

Из этой системы получаем обратным ходом метода Гаусса

Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, поскольку х ₄может принимать любые значения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: