ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностейВычисляя пределы функций, при непосредственной подстановке в функцию значения, к которому стремится , часто получают выражения вида: , по которым нельзя сделать вывода о существовании и значении предела. Эти выражения называются неопределенностями, а нахождение таких пределов – раскрытием неопределенностей. I. Неопределённости вида и Теорема Бернулли-Лопиталя. Пусть и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением самой точки , и в окрестности точки . Если и являются одновременно либо бесконечно малыми (то есть ) либо бесконечно большими (то есть ) при и при этом существует предел отношения их производных при , то существует и предел отношения самих функций , причем: . Теорема справедлива и в том случае, если . Например. 1. 2. , . 3. Иногда правило Лопиталя применяют несколько раз: .
II. Неопределённости вида и () Для вычисления , где - бесконечно малая функция, а - бесконечно большая функция при ( неопределенность ) необходимо преобразовать произведение к виду ( неопределенность ) или к виду ( неопределенность ). Например. Для вычисления , где и - бесконечно большие функции при ( неопределенность ) необходимо преобразовать разность к виду и затем рассмотреть неопределенность типа . Если , то . Если же , то является неопределенностью типа , рассмотренной выше. Например. .
III. Неопределенности вида , и К неопределенностям таких типов приходят при вычислении предела выражения . Для их раскрытия выражение логарифмируют и вычисляют предел , который является неопределенностью и сводится к или . Например. Вычислить предел: . Прологарифмируем выражение: Вычислим предел логарифма: Так как , то Формула Тейлора Формула Тейлора ставит в соответствие функции многочлен, значение которого в точке и n его производных совпадают со значением и её производных в той же точке. Теорема. Пусть функция (n+1) -раз непрерывно дифференцируема в интервале , тогда для каждой точки и справедлива формула Тейлора:. где - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям теоремы, заменить в окрестности точки многочленом с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости, чем члены многочлена при . Это делает формулу Тейлора удобной для приближенных вычислений. Например. Разложить функцию в окрестности точки . Вычислим производные функции в точке . , ; , ;
, ; , ;
, ; , . Подставим производные и в формулу Тейлора: Окончательно,
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|