Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции отличается от на некоторое постоянное слагаемое, т. е. где .

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Поскольку операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу, то наряду с таблицей основных интегралов приведем и таблицу производных. В обеих таблицах вместо функции может быть использована любая буква, например x, t, z и т. д.

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14.

Таблица основных интегралов

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18.

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Решение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: