ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиЛинейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид: (15) где р 1 и р 2 — действительные числа. Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного ДУ достаточно найти два линейно независимых частных решения и уравнения (15), чтобы записать общее решение: Будем искать решение уравнения (15) в виде где некоторое постоянное. Чтобы определить подставим в уравнение (15). Так как то (16) Квадратное уравнение (16) называют характеристическим уравнением для ДУ (15), а его корни и характеристическими числами. При решении характеристического уравнения (16) могут возникнуть три случая: а) Корни и действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (15) будет иметь вид: (17) б) Корни и действительные и равные, Общее решение уравнения (15) будет иметь вид: (18) в) Корни и комплексно сопряженные, Тогда общее решение уравнения (15) примет вид: (19) Пример 6.1. Найти общие решения линейных однородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами: а) б) в) г) Решение. а) Составим характеристическое уравнение: Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения: (20) Получим корни: Поскольку и то общее решение запишем в виде (17): б) Характеристическое уравнение: его корни найдем по формулам (20): Поскольку то общее решение запишем в виде (18): в) Характеристическое уравнение: его корни найдем по формуле (20): Получили комплексно сопряженные корни вида где а = 1, b = 4. Решение запишем в виде (19): г) Характеристическое уравнение: Решим его: — комплексно сопряженные корни вида где а = 0, b = 1,3. Решение запишем в виде (19), при этом учтем, что Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|