Кинематические соединения

Число степеней свободы	Название	Схема	Эквивалентная кинематическая пара
	Шарикоподшипник		Вращательная
Продолжение табл. 4
	Карданный шарнир (двухподвижное сферическое соединение)		Сферическая пара с пальцем
	Трехподвижное сферическое соединение		Сферическая пара

Степени свободы механизма

Количество W независимых движений, которые нужно задать ведущим звеньям механизма, чтобы все его остальные звенья двигались относительно стойки вполне определенно, называют числом степеней свободы механизма [8].

Для плоских механизмов степень свободы может быть определена исходя из следующего: механизм состоит из n звеньев, одно из которых – стойка. Каждое из (n-1) звеньев, будучи не связанными (до присоединения к кинематической паре), имело бы три степени свободы. Но все звенья такого механизма могут быть объединены между собой в пары V и IV классов, которые налагают ограничения на относительные движения этих звеньев. Если обозначить: p₅ – количество кинематических пар V класса, каждая из которых накладывает в плоскости по две связи, р₄ – количество пар IV класса, которые накладывают одну связь, то оставшееся число степеней свободы механизма

W = 3(n-1) - 2p₅ - p₄.

Структурная формула механизма впервые была предложена академиком П.Л. Чебышевым в 1869 г. Позднее аналогичная зависимость получена профессором П.О. Сомовым (1887г.) и А.П. Малышевым (1923 г.) и для пространственных кинематических цепей общего вида и в частности для манипуляторов:

W=6(n-1) - 2p₅ - 4p₄ - 3p₃ - 2p₂ - p₁,

где n – число звеньев манипулятора;

p₅; p₄; p₃; p₂; p₁ – число кинематических пар пятого, четвертого, третьего, второго и первого класса соответственно.

Число степеней свободы механизма с незамкнутой кинематической цепью равно числу степеней свободы кинематических пар, входящих в него:

W = p₅ + 2p₄ +3p₃ + 4p₂ +5 p₁,

То есть число степеней свободы манипулятора, например, равно сумме подвижнностей кинематических пар. Для полной ориентации изделия в пространстве требуется три степени свободы схвата, которые реализуются тремя вращательными парами р₅.

В зависимости от числа степеней свободы W манипуляторы подразделяют на три группы:

1) с малым W = 1-3;

2) со средним W = 4-6;

3) с большим W ≥ 7.

Число степеней свободы является основной величиной, необходимой для осуществления структурного синтеза манипулятора. Под структурным синтезом механизма подразумевают проектирование структурной схемы механизма, которая представляет собой схему с входящими в неё стойкой, подвижными звеньями, с указанными видами кинематических пар и их взаимным расположением.

Манипуляторы могут быть неподвижными (стационарными) и подвижными, установленными на передвигающемся основании (шасси) с различными движителями.

Число подвижностей манипулятора W_м – это число возможных взаимно определенных в пространстве перемещений его стойки. В зависимости от числа возможных перемещений манипуляторы могут иметь одну, две и три степени подвижностей вне рабочей зоны. Для стационарного манипулятора W_м = 0.

Число подвижностей в число степеней свободы не входит и потому в технической характеристике оно особо не выделяется, указывается только тип манипулятора – подвижный или неподвижный.

Методы аналитического отображения структуры механизмов

В манипуляторах применяются незамкнутые (ацикличные, бесконтурные) и замкнутые (цикличные, контурные) цепи.

Кинематическая цепь, звенья которой не образуют замкнутых контуров, называется незамкнутой. Кинематическая цепь, звенья которой образуют замкнутый контур (один или несколько), называется замкнутый. В манипуляторах преимущественное распространение имеют незамкнутые кинематические цепи.

Методы структурного, кинематического и динамического анализа и синтеза являются общими для обоих типов цепей, но приемы и подход при проведении исследований являются различными.

Кинематические цепи механизмов состоят из двух основных объектов: кинематических пар различных классов и соединяющих их связей различной формы и конфигурации. В совокупности две вращательные кинематические пары и связь S₂₁ образуют звено манипулятора (рис. 2). Информацию о структуре цепи робота можно записать в виде Р(Р, S), где Р – число кинематических пар, S – число соединяющих их связей.

Этой информации о структуре кинематической цепи достаточно для определения ее типа.

Между числом кинематических пар и связей существует зависимость

F = S – P + 1,

где F – число замкнутых контуров, имеющихся в цепи, если F = 0, то цепь не содержит замкнутых контуров, если F > 0, то цепь содержит в своей структуре контуры и является замкнутой, а величина F указывает количество контуров.

Примеры кинематических цепей манипуляторов.

Структура манипулятора (рис. 3а) Р (3,2)

F = S – P + 1 = 2-3+1 = 0,

то есть манипулятор не содержит замкнутых контуров, кинематическая цепь

открытая.

Структура манипулятора (рис. 3б) Р (4,4) F = S – P + 1 = 1, то есть кинематическая цепь содержит один замкнутый контур.

Для осуществления анализа и синтеза механизмов их структуру представляют в виде формализованных аналитических выражений и зависимостей.

Отображение структуры в форме конечных множеств

Кинетические цепи механизмов состоят из двух основных объектов: конечного множества кинематических пар различных классов и разновидностей и конечного множества, соединяющих и устанавливающих между ними отношения взаимных связей . Структуру манипулятора можно отобразить в форме конечного множества Р(Р, S), где - множество кинематических пар; - множество взаимных связей.

Информации о структуре манипулятора, приведенной в данном выражении, достаточно для установления или идентификации типа кинематической цепи: является ли она замкнутой или разомкнутой. Это позволяет судить в первом приближении о структурной сложности и особенностях кинематической цепи.

Отображение структуры в форме отношений

В множестве кинематических пар может быть определена закономерность, устанавливающая между ними отношение . Можно выделить некоторые пары из указав, какая из них является первой, какая второй и т.д. Если кинематические пары и соединены между собой связью, то есть являются смежными, то между ними можно считать, что существуют отношения.

(1)

Если кинематические пары не соединены, то есть не смежны, то они не находятся в отношениях

(2)

Для кинематической цепи, представляющей совокупность кинематических пар, соединенных между собой связями, имеет место отношение

(3)

При этом верхний индекс при указывает, как соединены кинематические пары или ориентированы их оси в пространстве: - параллельно; - перпендикулярно; - под углом; - коллинеарно; - скрещиваются и т.д.

Структура манипулятора (рис. 4) может быть описана:

. (4)

где - вращательные кинематические пары пятого класса,

- поступательные кинематические пары пятого класса, - взаимные связи,

- параметрические веса кинематических пар, - параметрические веса взаимных связей.

(5)

- вращательные кинемати­ческие пары пятого класса,

- поступательные кинема­тические пары пятого класса,

- взаимные связи,

- параметрические веса кинематических пар,

- параметрические веса взаимных связей.

В (4) пара встречается два раза, что свидетельствует о наличии замкнутого контура в структуре механизма. Таким образом, по выражениям отношений можно идентифицировать тип структуры.

Матрицы отношений для ориентированных структур манипуляторов, изображенных на рис.4 и рис. 5:

Отношение носят бинарный характер и указывают для каждых двух кинематических пар: имеют место отношения или нет. Бинарные отношения в множестве кинематических пар, входящих в структуру манипулятора, образуют булеву алгебру. Все законы булевой алгебры применимы к алгебре отношений. Используя тождественные отношения и формулы булевой алгебры, можно находить новые структуры манипуляторов, эквивалентные исходной.

Отображение структуры в форме матриц

Структура манипулятора однозначно отображается матрицей смежности C, составленной по следующему правилу:

Матрицы смежности манипуляторов, изображенных на рис. 4 и рис. 5:

Матрицы смежностей устанавливают взаимные отношения между кинематическими парами в манипуляторах. Сумма элементов столбца или строки указывает, сколько звеньев кинематической цепи присоединено к данной кинематической паре, то есть является ее локальной степенью .

Структура манипулятора однозначно отображается матрицей инцидентности , составленной по правилу:

где

Матрицы инцидентности для манипуляторов, изображенных на рис. 4 и рис. 5:

Ненулевой элемент матрицы указывает на инцидентность кинематической пары и связи . Если заданы матрицы C и I, то по ним можно построить кинематическую цепь манипулятора, так как каждая из них однозначно определяет цепь.

Отображение структуры в форме числовой последовательности

В этом случае структура манипулятора представляется последовательностью локальных степеней кинематических пар. Порядковый номер числа в этой последовательности соответствует номеру кинематической пары от стойки, а само число указывает локальную степень пары

Для механизмов, изображенных на рис. 4 и рис. 5

Структурные характеристики механизмов

Совокупность критериев качества необходима для оценки существующих механизмов, выбора определенного типа его из конечного множества альтернативных видов и конструкций, а также для сравнения возможных вариантов при синтезе и проектировании.

Оценка качества любой системы производится путем установления номенклатуры критериев и их последующей количественной оценки. Такими критериями для оценки структуры манипуляторов являются: порядок структуры, тип кинематической цепи, число измерений структуры, сложность структуры и т.п.

Порядок структуры

Порядок структуры манипулятора есть число (множество) кинематических пар, образующих кинематическую цепь манипулятора. Манипулятор n -го порядка состоит из конечного множества кинематических пар. Кинематические пары соединены взаимными связями , образующими звенья. Если связь соединяет кинематические пары , то они являются смежными, а связь инцидентна кинематическим парам и . Число связей, инцидентной данной кинематической паре , называется ее локальной степенью , или валентностью. Между локальными степенями кинематических пар и числом взаимных связей существует следующая зависимость:

Тип кинематической цепи

Тип кинематической цепи определяется ранее установленным соотношением

F = S – P + 1,

где F – число замкнутых контуров, имеющихся в цепи,

S – число связей, соединяющих кинематические пары,

P – число кинематических пар.

Если F = 0, то кинематическая цепь не образует замкнутых контуров и является незамкнутой или ацикличной. При F > 0 кинематическая цепь является замкнутой или цикличной с числом замкнутых контуров равным F.

Род кинематической цепи

Кинематическая цепь механизма называется совершенно однородной или I рода, если в ней содержатся кинематические пары одного класса и вида. Если в цепи манипулятора содержатся кинематические пары одного класса, но различных видов, то цепь является однородной или II рода. Неоднородной или III рода, является цепь, которая образована кинематическими парами различных классов.

Род кинематической цепи определяет маневренность манипулятора. Маневренность манипулятора с однородной цепью постоянна, а манипулятора с неоднородной цепью может быть изменена в зависимости от взаимного расположения кинематических пар.

Плоские и пространственные цепи механизмов

В плоском механизме все подвижные звенья и их точки совершают движения в одной или параллельных плоскостях. В пространственном механизме звенья и их точки совершают движения в различных не параллельных плоскостях.

В ряде случаев манипулятор может быть плоским, но с целью повышения его маневренности и улучшения обслуживания захвату сообщаются дополнительные движения в разных плоскостях.

Число измерений структуры

Числом измерений N (Р) (или N -мерностью) механизма является количество типов взаимных связей различной физической природы, находящихся в нем и обеспечивающих нормальное функционирование системы: информационные, управляющие, логические связи.

Функциональные связи представляют собой твердые звенья механизмов и различные гидравлические, пневматические механизмы, обеспечивающие функциональные перемещения изделий. Функциональные связи со стойкой образуют структуру механизма.

Энергетические связи служат для обеспечения перемещения звеньев, выполнения логических операций, сбора и переработки информации, т.е. обеспечивают энергетическое питание всех звеньев и программно управляющей системы манипулятора.

Некоторые типы связей подразделяются на виды. Например, энергетические связи могут быть электрические, пневматические, гидравлические.

Для каждого измерения N -мерной системы обычно составляется своя структурная схема, устанавливающая номенклатуру задающих и исполнительных устройств или элементов, их относительное расположение, взаимные связи и функционирование. Общая структура механизма описывается многомерной матрицей смежности CN (Р), в которой каждый вид связей обусловливает сечение матрицы С _i. Чем больше число измерений структуры механизма, тем сложнее его общая структура.

Сложность структуры

Для механизма с разомкнутой структурой под сложностью понимают отношение:

где - сумма всех кинематических пар, входящих в цепь;

- сумма подвижных звеньев;

- число степеней свободы.

Структурная сложность плоского механизма (рис. 6) состоящего из р5 = 1, n = 1 и обладающего W = 1

Структурная сложность манипулятора (рис. 5):

Структурная сложность манипуляторов с замкнутыми кинематическими цепями определяется в следующей последовательности:

1) размыкаются контуры;

2) выделяются все возможные варианты не замкнутых цепей и определяется структурная сложность каждого из вариантов;

3) производится суммирование x_i (Р), полученная сумма и определяет сложность структуры манипулятора, т.е.

.

Для определения структурной сложности манипулятора (рис. 4)кинематическую цепь разомкнем путем разрыва связи S 43. В результате получим две ацикличные цепи ABDEF и CD, значения сложностей которых и соответственно.

, поэтому

.

Структурная значимость кинематической пары

Для прогнозирования возможных последствий частичной потери подвижности пары необходимо знание величины критерия значимости пары. Структурную значимость кинематической пары в первом приближении можно оценить влиянием ее числа степеней свободы на общую подвижность манипулятора. Более точно и объективно значимость пары оценивается ее рангом .

Рангом называется величина, характеризующая структурную и функциональную значимость пары в кинематической цепи манипулятора. Для нахождения рангов пар используют комплексную матрицу смежности С _к, в которой диагональными элементами являются степени свободы кинематических пар , а не диагональные отображают локальные степени пар .

Ранг кинематической пары равен сумме членов строки матрицы

Более представительно характеризуют значимость удельные значения рангов пар q (p_i):

где - сумма элементов строки кинематической матрицы , соответствующая данной кинематической паре

- сумма всех элементов матрицы.

В качестве примера определим структурную значимость пар манипулятора (рис. 7).

1. Устанавливаем, что цепь манипулятора описывается структурным множеством P (P, S)=P (3, 2) и выражением отношений . В цепи содержатся пары имеющие локальные степени

2. Составляем матрицу смежности кинематической цепи.

3. Определяем значение рангов.

=44

4. Вычисляем удельные значения рангов кинематических пар

Анализируя полученные значения q_i (p_i) следует отметить, что их величины соответствуют действительной значимости кинематических пар в функционировании манипулятора. Наибольший ранг имеет пара , что обусловливается не только числом её степеней свободы, но и положением в кинематической цепи. В случае выхода из строя пар манипулятор потеряет возможность перемещаться в направлении определенных осей координат, но будет обладать всеми возможными движениями захвата и тем самым выполнять функциональное назначение.

Кинематические характеристики манипуляторов

Кинематические характеристики тесно связаны со структурными особенностями манипуляторов и во многом определяются ими. К кинематическим характеристикам относятся: рабочий объем, маневренность, зона обслуживания, угол и коэффициент сервиса и другие.

Рабочий объем манипулятора

Рабочий объем манипулятора – это объем, ограниченный поверхностью, огибающей все кинематически возможные положения схвата.

В зависимости от величины рабочего объема манипуляторы можно разделить на следующие группы:

1) миниманипуляторы (до 0,009 м³),

2) малые (0,01…0,09 м³),

3) средние с ограниченной грузоподъемностью (0,1…0,99 м³),

4) большие (1,0…9,99 м³),

5) тяжелые (свыше 10,0 м³).

В зависимости от характера перемещений, наличия или отсутствия в рабочем объеме твердых тел и препятствий движения схвата манипулятора подразделяют на 4 класса: к первому классу относятся движения в свободном рабочем объеме, ко второму – движения в несвободном пространстве, когда часть рабочего объема занята некоторым твердым телом, к третьему – движения, согласованные со связями, которые наложены на объект манипулирования, к четвертому – движения, осуществляемые в несвободном рабочем объеме и при несвободном объекте манипулирования.

Форма и конфигурация рабочего объема манипулятора определяется системой координат, в которой он работает. Рабочий объем манипулятора, функционирующего в прямоугольной системе координат, имеет форму параллелепипеда. Если заданы начальные координаты и конечные координаты векторов, определяющих положение звеньев, то свободный объем манипулятора

Рабочий объем в случае несвободного пространства соответственно уменьшается на величину, соответствующую объему, занятому твердым телом, или другими ограничивающими элементами.

Рабочая зона манипулятора

Рабочей зоной, или зоной обслуживания, называется рабочая часть объема манипулятора, в которой можно выполнять данную, характеризуемую расположением захвата по отношению к объекту манипулирования, операцию. Различают плоские и пространственные рабочие зоны. Тип рабочей зоны определяется числом степеней свободы, структурой и характером отношений между парами манипулятора.

Рабочей зоной плоского манипулятора является фигура, очерченная предельными положениями схвата или его предельной траекторией.

а)

б)

в)

г)

д)

Рабочие зоны манипуляторов: - вращательные, ротационные (Р) и поступательные (П) пары пятого класса; - вращательная пара схвата; - отношения параллельности и перпендикулярности между парами; 0 – стойка.

Теоретически рабочей зоной может быть: точка, прямая или кривая линии, плоскость, поверхность. На рисунке представлены рабочие зоны трехзвенных манипуляторов, состоящих из двух кинематических пар пятого класса и двух подвижных звеньев (считая и кисть). Структурная форма для всех вариантов манипуляторов (рис. 8) одинакова Р (3,2), однако формы рабочих зон их значительно отличаются.

Формы рабочих зон приобретают еще большее разнообразие при введении в структуру манипуляторов двух- и трехподвижных кинематических пар при различном расположении их осей.

Маневренность манипулятора

Маневренность манипулятора – число степеней свободы его кинематической цепи при условно неподвижной кисти. При определении маневренности условно закрепляют схват в манипуляторе и определяют число степеней свободы оставшейся кинематической цепи используя формулу:

для плоских манипуляторов или

для пространственных манипуляторов.

Повышение маневренности обеспечивает большую свободу действий оператора в выполнении движений, обходов и маневров.

Скорость линейных перемещений звеньев.

Скорость линейных перемещений звеньев определяет производительность и быстродействие манипулятора. В зависимости от величины скорости движения схвата манипуляторы подразделяются на тихоходные , среднескоростные и скоростные .

Б о льшим быстродействием характеризуются манипуляторы с пневмоприводом . Требования к закону движения пневмоприводов сводятся к одному из двух случаев: 1) обеспечению плавного безударного перемещения приведенной к штоку массы в заданное время (обычно минимальное); 2) получению близкого к равномерному закона движения на большей части хода. В первом случае требуемый закон реализуется с помощью тормозного золотника, уменьшающего сечение выхлопного канала пневмоцилиндра в некоторой точке хода, либо настройкой пневмопривода на режим автоторможения.

Скорость угловых перемещений

В зависимости от величины угловой скорости движения схвата манипуляторы подразделяются на тихоходные с , среднескоростными с , и скоростными с и высокоскоростными с . Угловые скорости зависят в значительной степени от грузоподъемности манипулятора. Основными приводами вращательного движения являются электромеханический, гидравлический и пневматический. Выбор типа привода во многом определяется процессами торможения рабочих органов. Эти процессы обеспечивают перевод рабочих органов из состояния движения в состояние покоя за минимальное время при ограничении величины углового ускорения, определяющего динамику манипулятора.

Точность манипуляторов

Позиционирование – это перемещение схвата с изделием в определенную точку пространства или рабочего объема. Абсолютная погрешность позиционирования - это отклонение в миллиметрах некоторой точки схвата от заданного положения или траектории при многократном повторении цикла движений. В зависимости от величины абсолютной погрешности позиционирования манипуляторы подразделяют на прецизионные с ; повышенной точности с ; средней точности с ; малой точности с . Погрешность позиционирования зависит от структуры манипулятора. Чем сложнее кинематическая цепь и больше число степеней свободы, тем ниже точность. Поэтому прецизионные манипуляторы, как правило, имеют относительно простую кинематическую цепь с числом степеней свободы не превышающим 5.

Для оценки точности манипуляторов с позиционным управлением используется относительная погрешность позиционирования схвата, представляющая собой отношение максимальной абсолютной ошибки к минимальному расстоянию от оси, ближайшей к основанию робота кинематической пары, до границы рабочей зоны, выраженное в процентах.

Относительная погрешность воспроизведения траектории – это величина, характеризующая точность роботов с контурным управлением и представляющая отношение максимальной абсолютной ошибки к максимальному расстоянию от оси ближайшей к основанию робота кинематической пары до границы рабочей зоны, выраженное в процентах.

Величина и коэффициент сервиса

Сервисами робота называется величина линейных, угловых, пространственных и объёмных перемещений, в пределах которых схват выполняет манипуляции с изделиями. Различают линейный L, угловой a, плоскостной Н и объёмный V сервис.

Различают линейный сервис по осям координат x, y, z – l_x, l_y, l_z. Угловой сервис характеризует перемещения схвата в манипуляторах, работающих в цилиндрической, сферической и комбинированной системах координат. Плоскостной сервис соответствует рабочей зоне, а объёмный – рабочему объёму.

Сервис является качественной характеристикой манипулятора. Для сравнительной оценки манипуляторов пользуются коэффициентами линейного, углового, пространственного и объёмного сервиса, значения которых определяются соответственно из соотношений:

, (13)

где - величины линейного, углового, пространственного и объёмного сервиса;

L – величина линейного перемещения относительно начала базовой системы координат или полный линейный сервис;

S, V – площадь зоны и объём, описываемые схватом относительно начала базовой системы координат или полный плоскостной и объёмный сервисы.

Значения коэффициентов сервиса могут изменяться от нуля (в начальных точках и на границе рабочей зоны и объёма) до единицы при полном сервисе. Максимальные значения коэффициентов сервиса находятся с учётом средних значений С_aср; С_lср; С_Sср; С_Vср из выражений:

(14)

где dl, da, ds, dυ – элементарные значения величин L, a, S, V.

При проектировании манипуляторов следует стремиться к оптимальным значениям коэффициентов сервиса, добиваясь соразмерных и гармонизирующих перемещений звеньев и схвата.

Определение зоны обслуживания, величины и коэффициента сервиса

манипуляторов

Структура и число степеней свободы кинематических пар манипулятора обуславливает его зону обслуживания, вид, величину и коэффициент сервиса. Для манипулятора со структурой Р(3,2), когда его последнее звено образует с кистью кинематические пары различной подвижности определим перечисленные характеристики.

1. Вращательная пара, образованная последним звеном кинематической цепи манипулятора с кистью, обеспечивает движение схвата двух основных видов, когда ось совпадает (или коллинеарна) с осью кинематической пары или расположена в плоскости, перпендикулярной (или направленной под любым углом больше 0) к оси пары. Соответственно движение схвата характеризуется или углом поворота относительно собственной оси или углом поворота j в плоскости, наклонённой или перпендикулярной к оси пары.

Углом сервиса является максимальный угол поворота схвата, отсчитываемый от начальной точки или оси, в пределах которого он может поворачиваться при данной структуре, составе кинематических пар, их расположении и размерах звеньев манипулятора. Максимальные значения углов поворота a и j являются соответственно осевым и плоскостным углами сервиса. При определении a и j считают, что схват не покидает исходной точки Д рабочей зоны при различных движениях кисти.

Первый случай.

Структура манипулятора (рис. 9) описывается выражением Р(3,2).

В системе координат манипулятор располагается таким образом, что ось кисти совпадает (или коллинеарна) с осью Ox, а стойка находится в начале координат.

Схват может поворачиваться на угол a вокруг своей оси.

Этот угол является осевым углом сервиса. Отношение

(15)

называется коэффициентом осевого сервиса схвата. 0£С_a£1. С_a= 0 при неподвижном схвате или в точке начала вращения, С_a= 1 при его полном обороте или при вращении.

При соосном последовательном расположении вращательных пар суммарный сервис схвата

,

где a и j - углы поворота кисти и последнего звена. Знак (+) соответствует однонаправленному, а (-) разнонаправленному повороту.

(16)

Соосное расположение вращательных пар позволяет увеличить или уменьшить осевой сервис схвата.

Второй случай.

Поместим в точку Д (центр схвата) вращательную пару (рис. 11), ось которой параллельна оси OY, такую же пару поместим в точку С. Соединим точку Д и А и обозначим переменное расстояние АД через R. Фигура АВСД представляет шарнирный четырёхзвенник, длина звеньев l₁,l₂,l₃ которого соответствует длине плеча, предплечья и кисти манипулятора.

Зоной обслуживания (или рабочей зоной) F является геометрическое место точек совпадающих с положением центра схвата Д, в пределах которого можно выполнять данную, характеризуемую положением схвата, по отношению к объекту манипулирования, операцию. Зона обслуживания представляет отрезок вдоль прямой АД. Уголом сервиса j является угол движения звеньев манипулятора в плоскости F, равный максимальному углу, отсчитываемому от линии АД, в диапазоне которого может поворачиваться схват при данном значении R.

Для нахождения j проведём линию АС. Из треугольников АВС и АДС следует:

(17)

Решив систему уравнений относительно cosj, получим

(18)

где g - угол между плечом l₁ и предплечьем l₂ манипулятора.

Коэффициент сервиса С_j в плоскости движения схвата:

(19)

Манипулятор может занимать положение АВ¹С¹Д¹, симметричное относительно оси ОY. Симметричное отображение имеют угол сервиса j¹ и зона обслуживания R¹.

Схват может совершать относительно точки Д полный оборот и качаться. В первом случае имеет место кривошипно-коромысловый механизм с кривошипом СД и коромыслом АВ, угол сервиса j_max =2 p, а С_j= 1, во втором – двухкоромысловый механизм с коромыслами АВ и СД, угол сервиса a_max <2 p, а . Установим, каким соотношениям должны удовлетворять размеры звеньев и кисти манипулятора l₁, l₂, l₃ для получения заданного значения С_j.

В основе манипулятора лежит шарнирный четырехзвенник АВСД. Задача определения зоны обслуживания, в которой коэффициент сервиса С_j равен единице, сводится к определению длины стойки R кривошипно-коромыслового механизма, исходя из условия существования кривошипа (условия Грасгофа). Обычно в манипуляторах звено АВ совершает качательное движение, то есть в шарнирном четырёхзвеннике оно является коромыслом. Поэтому для того чтобы С_j =1, манипулятор должен представлять кривошипно-коромысловый механизм, причём минимальным звеном является кривошип l₃. наибольшим звеном может быть одно из трёх звеньев: стойка R, коромысло l₁, шатун l₂. согласно условию существования кривошипа сумма длин наибольшего и наименьшего звеньев должна быть меньше или равна сумме длин двух других звеньев. Исходя из этого, возможны следующие три варианта существования кривошипа в кривошипно-коромысловом механизме манипулятора:

R+l₃ £ l₁+l₂; (20)

l₁+l₃ £ R+l₂; (21)

l₂+l₃ £ l₁+R. (22)

Из выражения (20) получим наибольшую длину стойки R_max, удовлетворяющую условию существования кривошипа:

R_max=l₁+l₂-l₃ (23)

Из выражений (21) и (22) находим минимальную длину стойки:

R_min=|l₁-l₂|+l₃ (24)

Зона обслуживания манипулятора при С_j= 1 и l₁³l₂ представляет прямую линию и равна разности между наибольшим R_max и наименьшим R_min значениями стойки:

L_об=R_max-R_min=2(l₂-l₃) (25)

Зона обслуживания на рис.10 обозначена I. Из выражения (25) следует: для увеличения зоны обслуживания манипулятора, содержащего вращательные пары, следует увеличить длину шатуна l₂ и уменьшить длину l₃ кисти.

Рассмотрим случай, когда схват совершает качательные движения, то есть С_j< 1. для этого увеличим R_max. В результате получаем двухкоромысловый механизм, в котором звено СД совершает лишь часть оборота вокруг точки Д. предельное увеличение R соответствует случаю, когда коромысло l₁, шатун l₂ и коромысло l₃ вытянуты в одну линию:

R_пр=l₁+l₂+l₃ (26)

Этому предельному значению соответствует коэффициент сервиса С_j =0. зона обслуживания манипулятора, выполненного на базе двухкоромыслового механизма:

L_об=R_пр-R_max =(l₁+l₂+l₃)- (l₁+l₂-l₃)=2l₃ (27)

Таким образом, зона обслуживания равна удельной длину кисти l₃ и обозначена II.

Другое предельное положение манипулятора соответствует расположению коромысла l₁, шатуна l₂ и коромысла l₃ в линию, но в противоположном направлении. Длина стойки R при этом уменьшается до величины:

R₀= l₃-|l₁-l₂| (28)

Зона обслуживания представляет линию III

L_о=R_min-R_o =2(l₁-l₂) (29)

Коэффициент сервиса в этом случае равен нулю. Максимальный угол сервиса j_max, в пределах которого может повернуться звено СД при данном R, определяется из выражения (18) при значениях g =180° и g =360°, что соответствует крайним положениям механизма:

(30)

Верхние знаки соответствуют зоне II, а нижние – III. Для зоны I угол сервиса j_max=p (определяется путём подстановки в выражение (18) выражения (23) и g =180°).

2. Сферическая пара с пальцем. Кисть манипулятора с его последним звеном образует двухподвижную пару. l₁, l₂, l₃, R остаются теми же, что и в предыдущем случае. Ось пальца параллельна оси OY, а ось прорези направлена по оси OZ.

Зона обслуживания манипулятора с двухподвижными сферическими парами характеризуется двумя сервисами: углом сервиса j движения схвата в плоскости F (как для вращательной пары) и углом сервиса q, обусловленного размерами прорези в паре. Отношение

(31)

является коэффициентом сервиса в плоскости прорези пары. Зона обслуживания представляет собой фигуру в форме кольца:

а) для манипулятора, выполненного на базе кривошипно-коромыслового механизма с j_max=p

(32)

б) для манипулятора, выполненного на базе двухкоромыслового механизма (рис. 12), имеется две предельных зоны:

(33)

Произведение угловых коэффициентов С_j и С_q является коэффициентом сервиса двухподвижной сферической пары

(34)

величина которого изменяется в пределах 0£ С £1.

3. Трёхподвижная сферическая пара. Манипулятор содержит сферические пары А, С и вращательную В (рис. 13). Схват вращается вокруг точки Д (центра схвата), в которой помещена трёхподвижная сферическая пара. Манипулятор представляет собой пространственный механизм АВСД. Для получения зоны обслуживания манипулятора следует вращать плоский четырёхзвенный механизм относительно стойки АД. В результате вращения трём зонам плоского манипулятора соответствуют три зоны обслуживания пространственного манипулятора. Зона I имеет форму шара, а зона II и III – шарового сектора, сферическая поверхность которого

. (35)

Угол сервиса y определяется как телесный угол, заключенный между всеми возможными положениями кисти СД. За меру y телесного угла с вершиной в центре схвата Д принимается отношение площади, вырезаемой телесным углом на поверхности шара, описанного радиусом СД, равным длине кисти l₃, из центра Д, к квадрату радиуса этого шара:

Максимальная величина угла сервиса равна отношению площади всего шара, который описывает кисть манипулятора, к квадрату её длины:

(36)

Отношение фактического угла сервиса к максимально возможному его значению называется коэффициентом сервиса в данной точке:

(37)

Подставляя значения, получим коэффициент сервиса С_y пространственного манипулятора при данном значении R

где верхние знаки для зоны II, а нижние – для зоны III. Для зоны I коэффициент сервиса С_y= 1.

Общие сведения о системах координат

Манипуляторы могут работать в прямоугольной системе координат – П, в цилиндрической - Ц, сферической – С, комбинированной - К.

В манипуляторах, работающих в прямоугольной системе координат, содержатся поступательные пары р₅, обеспечивающие независимые движения вдоль осей координат x, y, z. Положение схвата или искомой точки Е изделия полностью определяется координатами x_E, y_E, z_E. Основными параметрами рабочей зоны являются перемещения a, b, c (рис. 14, а) или В, С, (К) (рис. 15, а). Рабочая зона имеет форму параллелепипеда.

В манипуляторах, работающих в цилиндрической системе координат, наряду с двумя поступательными содержится и вращательная пара р₅, обеспечивающая вращение вокруг оси с независимой координатой j (рис. 14, б) или a (рис. 15, б). Поступательные пары обеспечивают независимое движение вдоль оси с координатами r и z. Положение схвата или искомой точки Е изделия полностью определяется параметрами j_E, r_E, z_E. Эти величины являются цилиндрическими или полуполярными координатами точки Е. При совпадении начала координат О цилиндрической и прямоугольной систем координат, а оси ОХ с полярной осью имеет место следующее соотношение между координатами: x=rcosj; y=rsinj. Аппликаты z в обеих системах одинаковы.

Рабочая зона манипулятора имеет цилиндрическую форму, размеры которой определяются следующими параметрами: радиусом R, углом поворота a, высотой h и глубиной b (рис. 14, б) или соответственно А, a, (К) и (С) (рис. 15, б). В цилиндрической системе координат работает 52-70% существующих роботов.

В манипуляторах, работающих в сферической системе координат, содержится как минимум две вращательные пары р₅, оси которых расположены в различных плоскостях (рис. 14, в, рис. 15, в, г). Эти пары обеспечивают вращение с независимыми координатами j и q (рис. 14в). Поступательная пара обуславливает независимое перемещение по радиус-вектору r. j_Е, q_Е, r_Е называются сферическими или полярными координатами искомой точки Е и полностью определяют её положение в системе. Прямоугольные и сферические координаты, при совпадении основных плоскостей обеих систем связаны соотношениями:

x=r sinq cosj; y=r sinq sinj; z=r cosq.

Рабочая зона имеет сферическую форму и характеризуется следующими параметрами: D, a, (K) и B. В сферической системе координат работает 3-10% манипуляторов.

К манипуляторам, работающим в комбинированной системе координат, относятся манипуляторы, содержащие в своей структуре три и более вращательных пары р₅, а также конструкции, сочетающие перемещение в различных комбинациях систем координат. В комбинированной системе работают от 3 до 28% созданных манипуляторов.

Кинематический анализ манипуляторов

Кинематический анализ манипуляторов состоит в определении движения захвата и звеньев в зависимости от заданных движений начальных звеньев. Основными задачами кинематического анализа манипуляторов являются:

определение положения и траектории движения захвата изделий и отдельных точек звеньев;

определение их скоростей и ускорений.

При решении этих задач считается известной структура манипулятора, его кинематическая схема с указанием типов кинематических пар, размеров звеньев и законов движения начальных звеньев.

Для кинематического анализа манипуляторов, как и анализа механизмов, используется два метода: метод проекций и метод преобразования координат. Первый метод применим для исследования манипулятора с цикличной кинематической цепью, второй – для манипуляторов с ацикличной кинематической цепью.

Кинематический анализ манипуляторов методом проекций

Произведём анализ манипулятора типа «механическая рука», используемого для захвата и извлечения изделий из рабочей зоны и выдачи их на следующую позицию обработки.

Манипулятор робота представляет собой плоский механизм с захватом в точке Д. В заданной системе координат точка Д движется согласно уравнениям:

(38)

в течение 1с. На рис. 16 изображён в начальном положении механизм манипулятора и показаны положительные направления отсчёта углов j, y, q и расстояния S. Размеры звеньев: а =1,30 м, b =1,10 м, с =0,55 м.

В начальный момент времени (t=0).

j =j₀ =62°; y=y₀ =33°

Определить значения углов j, y, q и расстояния S для указанного промежутка времени. Вычислить также угловые скорости , угловые ускорения , относительную скорость и относительное ускорение точки В. Вычисления произвести для моментов времени 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1с.

Для любого положения механизма справедливы векторные соотношения:

(39)

(40)

Где (41)

Равенства (38)…(41) являются уравнениями связей, наложенных на систему. Спроецируем (39) и (40) на оси координат:

(42)

(43)

Продифференцировав (42) и (43) дважды по времени, учитывая (41), получим алгебраические уравнения относительно неизвестных угловых скоростей и скорости после первого дифференцирования и алгебраические уравнения относительно угловых ускорений и относительного ускорения , связывающие их между собой после второго дифференцирования.

(44)

(45)

(46)

Величины входящие в выражения (44) и (46) определяются дифференцированием уравнений движения схвата (38):

(47)

Для начального момента времени t=t₀ =0 системы уравнений (44) и (45) имеют следующий вид:

(48)

(49)

Для определения S₀ и q₀ воспользуемся системой (43) для начального положения (t =0)

Разделив данную систему относительно S₀ и tgq ₀, получим

Подставляя значения a, b, c, j₀, y₀, q₀, S₀ в (48), (49), получим систему уравнений

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: