Ньютонның флюкция әдісі және дәрежелік қатарлар.

17 ғасырдың аяғына таман И. Ньютон мен Г. Лейбниц еңбектерінде дәл мағынасындағы дифференциалдық және интегралдық есептеулердің негізі қаланды. Олар алғаш рет жаңа есептеудің негізгі амалдары дифференциалдау мен интегралдауды жалпы түрде қарастырып, олардың өзара байланысын тағайындады (Ньютон- Лейбниц формуласы). Алайда Ньютон мен Лейбниц бұл мәселеге қатысы әр түрлі көзқараста болды. Ньютон үшін бастапқы ұғымдар- механикалық есептерден келген «флюента» (айнымалы шама) және оның «флюксиясы» (айнымалы шаманың өзгеру жылдамдығы). Флюксияларды және флюенталар бойынша флюнсиялар арасындағы қатыстарды (дифференциалдау және дифференциалдық теңдеулер құру) табуды көздеген тура есепке Ньютон флюнсиялар арасындағы қатыстар бойынша флюенталарды табу жайлы кері еспті, былайша айтқанда дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың жалпы есебін қарсы қойды.

71.XVII ғасыр математиқасындағы ең басты жетістік математикалық анализдің ең іргелі тарауы саналатын дифференңиалдық және интегралдық есептеулердің жасалуы болып саналады. Ол Ньютон мен Лейбництің және олардың серіктері мен шәкірттерінің еңбектерінде керініс табады. Алайда шексіз аздар анализінің шығуы бір немесе бірнеше адамның данышпандық тапқырлығының жемісі емес еді, ол шындыгында, ішкі математикалық мәні дифференңиалдық және интегралдық есептеулер мен қатарлар теориясы элементтерінің қорлануы және бѳлінуі болатын ұзаққа созылган дамудың нәтижесінде туды. Бұл процестің қозғаушы күші ең әуелі механикада, астрономия мен физикада жатты. Бұл ғылымдар математиқаның алдына шешілуге тиісті эр түрлі жаратылыстану мәселелерін қоюмен қатар, олар математика объектілерін үздіксіз қозғалыстар мен шамалар, функциялық тәуелділіктердің мәні мен түрлері туралы жаңа, кең, терең ұғымдарымен байытты. Математика мен оған байланысты ғылымдар қоян-қолтық тығыз байланыса келіп, айнымалы шамалар математикасының негізі инфинитезимальдық («Инфинит»— шексіз деген сѳзді білдіреді) әдістер қалыптаса бастайды. Шексіз аздарды есептеуде XVII ғасырда математи- каның ез ішінде де жетерліктей алғы шарттар пісіп 182 жетілген болатын. Олар: қалыптасқан символикалық алгебра мен есептеу техникасы, аналитикалық геомет- риядагы айнымалы шамалар мен координаттар әдісі; ежелгі оқымыстылардың, әсіресе Архимедтің инфините­ зимальдық идеяларын игеру; квадратура, кубатура, ауырлық центрлерін табу, жанама жүргізу, экстремумдар табу т. б. есептерді шешу әдістерінің жинақталуы еді. Бұл тектес есептерді қардстыру, оларды шешудің жалпы әдістерін іздестіру барысында, яғни шексіз аздар анализін жасау жолында Ньютон мен Лейбницке дейін Кеплер, Галилей, Кавальери, Торичелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Барроу және басқа кѳптеген айтулы оқымыстылар жемісті еңбек етті. Міне, осылай математикалық анализдің элементтерін, бастамаларын жасау кѳп галымдардың жан-жақты творчестволық зерттеу жұмысының нәтижесі болды.

XVII ғасырда болашақ дифференциалдық әдістің нышаны, элементтері бой кѳрсете бастайды. Бұл қарсаңда дифференциалдық есептерді шешу, қисықтарға жүргізілген жаңаманы анықтау, функциялардың макси­ мумы мен минимумын табу, алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерінің шарттарын іздестіру, механикада траекторияның кез келген нүктесіндегі бір қалыпты емес қозғалыстардың жылдамдығын анықтау сияқтылар жалпы әдіспен емес, эр түрлі әдістермен шығарылады.

69. Дифференциалдық және интегралдық есептеудің екінші бір түрі — дифференңиалдарды есептеу. Оның авторы — Готфрид Вильгельм Лейбниц. Ол дүниежүзілік ғылыми философия тарихындағы ең ұлы тұлғалардың алдыңғы сапынан орын алады. Лейбницті, әдетте, кер- некті философ, ұлы математик деп қана атайды. Шы- нында, ол заманындағы ғылымның кѳп саласымен айналысқан. Ол математик, физик, юрист, экономист, геолог, психолог, тілші және тарихшы болған. Оның үстіне Лейбниц ѳз тұсындағы әлеуметтік және мемлекеттік істерге араласқан ірі қоғам қайраткері саналады. Лейбниц езінің ғылыми және қоғамдық қызметін ѳте ерте бастаған. Ол 20 жасында Лейпциг университетінің заң факультетін үздік бітіргеннен кейін алғашқы қыз­ метін министр барон Бонебургке хатшылықтан бас­ тайды. Бұл кезде Лейбниц жас та болса ғылым әлеміне танылып қалған болатын. Ол университетте оқып жүр- ген кезінде-ақ ғылымның эр түрлі саласы бойынша, әсіресе математиқадан ѳте терең білім алып үлгіреді. Мәселен, 1663 ж. 17 жасында «М атефизикалық ойлар» деген мақала жазады. Бір жылдан қейін оның «Филосо­ фия мәселелері жѳніндегі тәжірибе» деген мақаласы жарық кѳреді. Ал 1666 ж. 20 жасында «Комбинаторика 9* 195 жайлы ойлар» ат7ы математикалық трактат жазады. Осыдан бастап ѳмірінің соңына дейін (1716 ж. ѳлген) белсенді ғылыми-философиялық іс-әрекетін қоғамдық мемлекеттік жұмыстармен шебер ұйымдастырып ѳткеи. Лейбниц тек Германияның ғана емес, бүкіл Европа елдерінің ішкі-сыртқы тұрмысын, ғылми жағдайын жетік білген және оған белсенді араласып отырған. Ол барлық дүннежүзілік Ғылым академиясын құру жоспарын жасайды. Осының нәтижесінде Лейбниц Берлин академиясын ұйымдастырып, оның тұңғыш басшысы болады. Ол мұндай академия басқа елдерде де болу қажеттігін барынша уағыздап, тікелей жәрдем кѳрсете- ді. Лейбниц ѳмірініц соңғы жылдары Бірінші Петрмен жақсы қарым-қатынаста болған, жүзбе-жүз кездескен. Ол Россия үшін де Ғылым академиясын құрудың керек- тігін және бұл істе езінің жан-жақты кѳмек кѳрсетуге дайын екендіғін айтып Бірінші Петрге хат жазған. Лейбниц дүние туралы тұтас ғылыми-философиялық кѳзқарастар жүйесін жасайды. Ол жалпы алғанда, идеалист.. Оның түсіндіруі бойынша дүниенің негізінде қарапайым рухани клетка — белінбейтін монодалар жатыр. Монода — физикалық нүкте де, математикалық нүктё де емес, кѳзге керінбейтін, қолға ұстауға болмай- тын идеялық субстанция. Ол ѳзінше дербес ѳмір сүреді. Саналуан ѳзгеріске ұшырай алады. Тынымсыз, белсенді қозғалыста болады. Әлемнің кѳп түрлілігі осы монода- лардың сан алуан жолмен бірігу кѳрінісінің эр түрлі сипаттары. Монодалардан материя, болмыс түзіледі. Лейбниц шындыққа, ақиқатқа жетудің шешуші құралы ретінде, логика мен математиканы ұсынады. Осыдан барып Лейбниц ғылыми танып-білудің әмбебап, логика-математикалық әдісін, әмбебап сипаттамасын жасайды. Бұл жаңа әдіс барлық логикалық қорытынды- ларды, ұғымдарды бір мәнді дәлме-дәл бейнелейтін сѳздерге, басқа да символдарға жүргізілетін есептеу теқтес амалдармен ауыстыруға тиіс болады. Бұл жағ­дайда ол қарапайым элементтердің байланыстары мен тәуелділіктерінің барлық мүмкін түрлерін бейнелейтін ғылым ретінде ж аңа мағынаға ие болады. Математика- ның белгілі әдістері болашақ жалпы математикаға құрама бѳлік ретінде енеді. Мұнда ұғымдар мен амалдардың мәнін дәл бейнелейтін аса кемелденген симвликаны пайдаланатын алгоритмдердің қызметі ерекше болады. 196 щ Лейбниц басшылыққа алған алғашқы осындай математикалық мақсаттар дифференциалдық және интег­ ралдық есептеуді ашуға, математикалық зерттеулерге бағыт-бағдар сілтеді. Бұл мақсаттарды жүзеге асыру үшін ол Декарт, Кавальери, Валлис, Паскаль, Гюй­ генс т. б. математиктердің ш ы ғарм алары н тәптіштеп, егжей-тегжейлі оқып үйренеді. Лейбництің шексіз аздар анализініц үш бастау кѳзі м ы налар еді: 1) Елеулі түрде жалпыланған Паскальдың сипаттамалық үшбұрыш әдісі; 2) Декарт және оның ізбасарлары ж асаған, аналитикалық геометрия; 3) Шексіз қатарларды қосыидылау және бұған шекті айырымдар жүйесін қолдану. Осы идеяларды синтездеу арқылы Лейбниц барлық шексіз аздарға тірелетін есептерді екі типке келтіруге болатынын ашады. Ж анама туралы және оған байла- нысты есептер әрқашанда қатарлардың шексіз жақын мүшелерінің айырмасын есептеуге әкеліп соғады. Квад­ ратура туралы және оған байланысты есептер әрқашан­ да шексіз кіші кѳршілес мүшелері бар шексіз қатарлар­ дың қосындыларын табуға тіреледі. Лейбниц жаңа есептеудің қолайлы символикасын кѳп іздестіреді. Ақьшында ол шексіз кіші айырманы таңбалау үшін d (differenti-айырма сѳзінің бас әрпі) символына тоқтайды. Лейбниц Кавальери мен Паскаль- дің жолын қуып интегралды «барлық» шексіз кѳп ординаттардың қосындысы деп қарастырып» (барлық) снмволымен белгілейді де кейіннен Summa (қосынды) сѳзінің бас әрпінен алынған S таңбасына кѳшеді. Дифференциалдық есептеудің негізгі бастамалары толық түрде 1648 ж. «Acta Erudiforum» журналында жарық кѳрген, бас аяғы жеті беттен ғана тұратын «Максимум және минимумдардың, сондай-ақ жанама- лардың жаңа әдісі» мақаласында баяндалады. Мұнда ол ең әуелі функцияның дифференциалының анықтама- сын береді. Аргументтің дифференциалы d y үшін кез келген шама алынады (функцияның дифференциалы dy=, мұнда 5) — (х, у) нүктесіне жүргізілген жанама табаны), dx, d t/— символдары енгізіледі. Мұн­ да сонымен қатар бірінші дифференциалдың немесе функцияның функңиясының инварианттық қасиеті айты- лады, дифференциалдар шамалардың лездік есімшелеріне пропорционал шамалар болып түсіндіріледі. Алай- 197 да, кейіннен олар қайтадан шексіз аз айырмалар түрінде анықталады. Дифференциалдау алгоритм! ережелерімен катар Лейбниц олардың жәрдемімен функциялар мен қисықтарды зерттеу әдістерін тұжырымдайды. Бұл м акалада Лейбниц дифференңиалдық есептеу мәселелерімен шектеледі. Екі жыл ѳткеннен кейін жарық кѳрген «Терең геометрия туралы» мақаласында бірінші рет баспа бетінде интеграл танбасын енгі.зіп, s және d операторларының ѳзара кері сипатын кѳрсетеді. Бір есепте Г xdx интегралына келіп d x ^\2 = x d x теңдігінен тікелей J xdx = - y - тендігін ш ы ғары п, оны мы надай қорытындымен толықтырады. «...бізде қосынды мен айырма немесе s және d кәдімгі есептеудегі дәрежелеу мен түбір табу сияқты ѳзара кері амалдар болады». Бұған мысал ретінде циклоиданың теңдеуі интегралдық түрде у = У 2 х—х^ + I у 2 х—х^ жазылып, бұдан оның барлық қасиеттерін шығарып алуға болатыны түсінді- ріледі. Қазір Ньютон және Лейбниц формуласы аталып жүрген анықталған интегралды интегралдаудың жоғары және тѳменгі шектеріндегі алғашқы функция мәндерінің Һ айырмасы арқылы ѳрнектейтін [ f { x) d x = F { b)— Ғ(а) а аналитикалық формуласы дәл осы қүйінде оларда бол- маған. Ол бірінші рет XVIII ғ. П ариждегі Политехнпкалық институтының профессоры Лакруаның «Дифферен­ ңиалдық және интегралдық есептеу туралы» окулығында кездеседі. Алайда, оған эквивалент ереже Ньютон мен Лейбницте болған. 1693 ж. Лейбниц жаңа есептеуді анықталмағаи коэффициенттер әдісі арқылы қатарларға жіктеуге болатын трансңентті негізінен дифференциалдық және интегралдық есептеудің барлық бастапқы бѳліктері қамтылады. 1695 ж. ол жалпы кѳрсеткіштік функцияны дифференциалдау ережесі мен кѳбейтінді не кѳп еселі дифференциялау формуласын. d'^ixy) = d '^ x - d ° y + - d ^ d " ‘-'^x-dy+ --^ ~ ^ ^ d ’'^-^x-d'^y+..., жариялайды. Осы кездерде ол дифференциал ұғымын теріс және бѳлшек кѳрсеткіш жағдайына жалпылайды. 198 1702— 1703 жылдары рационал бѳлшектерді интеграл­ дау әдістері жасалынады. Лейбництің символикасы мен терминдері жақсы ойластырылып сәтті табылған болып шықты. Олардың бірсыпырасы ѳзгермей осы кезге дейін келіп жетті. Лейбниц дифференциал, дифференциалдық есептеу, функция, координаттар, дифференциалдық теңдеу лаго- ритм т. с. с. терминдерді және символдарды ң кѳпшілігін енгізген. Лейбництін шексіз аздар теориясының әлсіз жері де болды. Шексіз жақындау, шексіз аздық немесе процес- тің шексіз созылуына сүйенетін негізгі ұғымдардың рационал түрде түсіндірілу жағы айқын емес еді. Лейб­ництің қолжазбалары мен мақалаларында шексіз аздар анализін негіздеу мәселесі аз қозғалмайды. Ол мәселен, шексіз аздарды биархимедтік ш амалар деп немесе интуктивті түрде қабылданатын потенциалды шексіз аздық деп алады. Кейде ежелгі гректердің сарқу әдісіне сілтейді, қиындықтарды соған аударады немесе әлі егжей-тегжейлі ашылмаған шекке кешу тәріздес бұлдыр ұғым дарға сүйенеді т. с. с. Калай болғанда Лейбниц те Ньютон сияқты матема­ тикалық анализді негіздеу проблемасын шеше алмайды.

70. Шексіз аздар анализін ары карай дамытуда Ньютонның флюксиялар әдістеріне қарағанда Лейбництін дифференциалдарды есептеуінің ықпалы едәуір зор болды. Мұның бір себебі Лейбниц ѳзінің шексіз аздар женіндегі есептеулерін дер кезінде тез бастырып, ғылыми жүртшылыққа уақытылы жариялап отырды. Ал Ньютон бұған асықпаған, оның анализ әдісі кемеліне келтіре арнайы жазылған «Кисық сызықтың квадратурасы туралы пайымдаулар», «Флюксия әдісінде» баян­ далады. Бұл еңбектерінің біріншісі 40 жыл еткен соң — 1704 жылы, ал екіншісі ѳлгеннен соң 1716 ж. баспа бетін кѳреді. Оның жаңалықтары қолжазба түрінде хаттар арқылы таратылған. Ең бастысы Ньютон математикалық анализді дамы­ туда символдардың роліне мән бермеген. Ол ұсынған флюксиялар мен флюенттердің таңбалаулары аса сәтті болманды. Ол символдар кейде механикада, кейде нүкте арқылы бірінші және екінші туындыларды белгілеу үшін 199 ғана колданылады. Бұған керісінше байыппен ойласты- рылған Лейбництің символикасы ұғымдар мен амалдар- дың туп мәнісін дәл бейнелеп қана қоймай, ѳте қара­ пайым да қолайлы болып шыққан, тіпті қез келген санды айнымалысы бар функцияларды кѳп еселі дифференциалдау және интегралдауға да әдемі үйлес- кен. 1694 ж. Лейбниц ѳзінің қабы лдаған символдарының болашағы туралы берген бағасын математиканың даму тарихы толық растады, Мұның үстіне Лейбниц ѳзінің есептеуін таратуға, насихаттауға кѳп кѳңіл бѳлген, оны үйренгісі келген дос-жаран, шәкірттеріне барынша кѳмектесіп отырған. Ал Ньютон болса мұндай емес, томаға-тұйық, тәкаппар кісі болған. Бұл тұрғыда Ньютон мен Лейбництің ѳзара қатысы туралы айтпай кетуге болмайды. Ағылшын корольдік қоғамы (Ғылым академиясы) секретарь Ольденбург арқылы олар хат алысып тұрған. Мәселен, 1676 ж. Нью­ тон Лейбництің сұрауы бойынша ұлкен екі хат жазып, онда қатарлар туралы, флюксия әдісі жѳнінде алған нәтижелерін жазып жібереді. Бұл кезде Лейбниц те ез бетінше осы мәселелер тѳңірегінде зерттеулер жүргізіп, елеулі табыстарға жеткен болатын. Кейінірек тағдырдың тәлкегінен ниеттес екі ұлы адамның ара қатынасы нашарлай, үлкен наразылыққа ұласады. Бұл алауыздықтың түп тамыры шексіз аздар анализі әдісін кім бұрын ашты — Ньютон ба, әлде Лейбниц пе? деген қырсықты сауалда жатыр еді. Мұн­ дай таласты басында олардың ѳздері емес, олардың тѳңірегіндегі «жанкүйерлері» қоздырады. Бұрын бір- бірін сырттай қадірлеп, мақтап жұретін екі ғалым, енді ашықтан-ашық бірін-бірі даттауға кѳшеді. Бара-бара бұл айтысқа қалың жұртшылық араласады: ағылшын ғалымдары Лейбниц математикасын мойындамаса, не­ міс, кейіннен бүкіл құрылық математиктері Ньютонның флюксия теориясын елемей, жақсылығын жоққа шыға­ рады. Бұл батуасыз да ғылымға залалды дау-жанжал жүз жылдай уақытқа созылады. Шындығында, Ньютон мен Лейбниц жоғары математика негіздерін ѳз беттерін- ше, бір-біріне тәуелсіз тапқан, тек Ньютон біраз бұры- нырақ ашқан, ал Лейбниц бұрын жариялап, аса қолай­ лы символика енгізген. Алғашқы кезде Лейбництің ізбасарлары кѳп болма- ған. Алайда, оның алғашқы шәкірттері қатарында швейцарлық Яков пен Иоганн Бернулли сияқты аса 200 дарынды ғылым қайраткерлерінің болуы Лейбництің ғылыми мектебінің ѳркендеуіне баға жетпес бастама жасады. 1687 ж. сол кездің езінде профессор атағы бар Я. Бернулли Лейбницке хат жазып, шексіз аздар ана- лизінен консультация беруін ѳтінеді, бірақ Лейбниц сыртта жүргендіктен жауап үш жылдан кейін беріледі. Бұл аралықта ол Лейбниц еңбектерін мұқият оқып дифференциалдық және интегралдық есептеуді ѳзі терең түсініп қоймай, оған інісі Иоганнды да тартады. Кѳп ұзамай олар Лейбницке қосылып үшеуі триумврат құрып, 2 0 жылға жетпейтін уақыт ішінде жаңа анализді айрықша байытып тастайды. М атематикалық анализді дамытуда И. Бернулли (1667— 1748), әсіресе оның шәкірттері — Лопиталь, Вариньон, ѳзінің ұлдары: Ни­ колай және Даниил Бернулли, Г. Крамер және XVIII ға- сырдың аса ұлы математигі Леонард Эйлер аса зор үлес қосты. Шексіз аздар анализі тарихында француз математи­ гі маркиз Ф рансуа Антуан де Л оп итальды ң (1661 — 1704) ѳзіндік орны бар 1691 ж. Ф ранцияда бір ж ы лдай уақы- тын ѳткізген И. Бернулли шексіз аздар анализін кең насихаттап бұл елде Лейбниц мектебінің бір бұтағының пайда болуына шешуші қызмет атқарады. Лопиталь оның ең таңдаулы шәкірті болады. Бернулли оның бір езіне ғана арнайы дәріс береді, бұл тарихта сирек кез- десетін жағдай, Еліне кетерде Бернулли осы дәрістер бойынша жинақталған дифференциалдық және интег­ ралдық есептеудің бүтін курсының қолжазбасын Лопи- тальға тастап кетеді, олар мұнан кейінде он жыл бойы хат жазысып тұрған. Лопиталь ѳз бетінше шексіз аздар анализін қолданып математика мен техниканың кейбір дербес есептерін шешіп, дифференциалдық геометрияда кейбір жаңалықтар ашады; дүниеге әйгілі «Лопиталь ережелерін» әкеледі. Алайда оның ең негізгі жетістігі 1696 ж. ж арық кѳргеи математика тарихында тұңғыш рет дифференциалдық есептеу және оның геометрияға қолданылуы туралы «Шексіз аздар анализі» атты оқу- лық шығаруы болды. Бұл оқулық әлгінде ғана айтылған И. Бернуллидің дәрістерінің негізінде жазылғаи. Мұнда баяндалған әдістердің барлығы дерлік Лейбниц пен ағайынды Бернулли, әсіресе И. Бернулли еңбектерінен алынған. Мұны Лопитальдің ѳзі кітабында ашық айтады. Алайда айқындық, тартымдылық, тәптіштеп талданған есептер- 201 дін кѳптігі, сѳз қолданыс шеберлігі сияқты оқулықтың ерекше дидактикалық жетістіктері Лопитальдың тамаша методист оқымысты болғанын танытады. Лопитальдың бұл еңбегі француз тілінде тағы да тѳрт рет қайта басылған, ағылшын, латын тілдеріне аударылған. Мұ- нан басқа оған бірнеше түсініктемелер жазылады. Со- ның бірінің авторы Лопитальдың досы И. Бернуллидің шәкірті механик Пьер Вариньон (1654— 1722) еді. Лопи­ тальдың «Шексіз аздар анализі» ғылым сүйер кѳпшілік қауым үшін ашқан тұңғыш шығарма болды. Ол 1935 ж. орыс тіліне аударылып басылды.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: