Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл, его свойства и вычисление.

1.Пусть в плоскости задана плоская материальная пластинка, в каждой точке которой известна плотность. Нужно найти массу этой пластинки. Так как данная пластинка имеет четкие размеры, то она может быть заключена в прямоугольник. Зададим равномерное разбитие на одинаковое количество частиц. Таким образом, заданная фигура будет разбита на элементарные прямоугольники. Рассмотрим один из таких прямоугольников. Выберем любую точку данного прямоугольника. В силу малости размеров такого прямоугольника будем считать, что плотность в каждой точке данного прямоугольника является величиной постоянной. Тогда масса такой прямоугольной частички, будет определяться как умножение плотности в этой точке на площадь прямоугольника. Площадь, как известно, это умножение длины прямоугольника на ширину. А на координатной плоскости – это изменение с некоторым шагом. Тогда масса всей пластинки составит сумму масс таких прямоугольников. Если в таком соотношении перейти к границе, тогда можно получить точное соотношение.

2.Зададим пространственное тело, которое ограничено началом координат и некоторой функцией. Нужно найти объем указанного тела. Как и в предыдущем случае, разобьем область на прямоугольники. Будем считать, что в точках, которые не принадлежат области, функция будет равна 0. Рассмотрим одно из прямоугольных разбитий. Через стороны данного прямоугольника проведем плоскости, которые перпендикулярны к осям абсцисс и ординат. Получим параллелепипед, который снизу ограничен плоскостью относительно оси аппликат, а сверху той функцией, которая была задана в условии задачи. Выберем в середине прямоугольника точку. В силу малости размеров данного прямоугольника можно считать, что функция в рамках этого прямоугольника имеет постоянное значение, тогда и можно рассчитать объем прямоугольника. А объем фигуры будет равен суммам всех объемов таких прямоугольников. Чтобы получить точное значение, необходимо перейти к границе. Как видно из поставленных задач, в каждом примере приходим к выводу, что разные задачи приводят к рассмотрению двойных сумм одинакового вида.

Если существует предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиений dT, причем он не зависит ни от выбора разбиений T, ни от выбора точек Pi в областях Di, то такой предел называется двойным интегралом от функции f (x,y):

Свойства: Постоянную, можно выносить за знак интеграла; Интеграл суммы (разницы) равен сумме (разнице) интегралов; Из функций меньше будет та, двойной интеграл которой меньше; Модуль можно вносить под знак двойного интеграла.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: