Внутренняя энергия идеального газа. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы

Билет№1

1.Динамика занимается изучением движения, обладающих массой, тел под действием приложенных к ним сил.

1-й з-н Ньютона: свободное тело находиться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.(выпол-ся только в инерциал. системе отсчета, движение без ускорения)

Инерциальной называется такая система отсчета, в которой свободное движение тела с постоянной массой происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Свободным называется тело настолько удаленное от всех остальных, что их воздействие на движение данного тела пренебрежимо малы. Инерциальных систем отсчета сущ-ет бесконечное множество. Система отсчета, по отношению к которой пространство однородно и изотропно, а время однородно наз. инерциальной. Любая сис-ма отсчета, движущаяся относительно некоторой инерц. сис-мы прямолинейно и равномерно, будет также инерциальной.

Количественная мера механического воздействия на тело со стороны других тел или силового поля наз. силой.

2-й з-н Ньютона: Изменение скорости движения тела пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой действует сила.

В векторной форме:

F=ma=m*dv/dt

при m=const:

d(mv)/dt=dP/dt =F

В координатной форме:

, ,

Принцип независимости: Если на тело действует сразу несколько сил то ускорение которое приобретается телом от каждой силы не зависит от того действует ли на это тело другие силы или нет.

2.Процесс возвращения в состоянии термодинамического равновесия макро сис-мы, выведенной из этого состояния, наз-ся релаксации. Релаксация осущ-ся за счет так наз-ых

явлении переноса, приводящих к выравниванию неоднородности. Явление переноса необр. процесс.

Диффузия – это процесс выравнивания концентраций в сис-ме, обусловленный хаотическим движением элементов сис-мы.

З-н Фика:

-диффузионный поток массы. «Переносимой величиной» G в случае диффузии является относительная концентрация молекул данного сорта,

Коэффициент диф-и (D) – показывает, какое число молекул, диффундирует в единицу времени ч/з единичную площадку при единичном градиенте относительной концентрации. Знак минус показывает, что поток массы направлен в сторону умен-ия концентрации.

Коэффициент диф-и газов пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры D~√T и обратно пропорционален числу молекул в единице объема и поэтому давление (D~1/P) диф-я в газах является медленным процессом.

Билет№2

1.Система отсчета- это совокупность тел кот-ые условно считаются неподвижными и по отношению к которым рассматривается движение других тел. Материал. точка-тело размерами формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Радиус-вектор- это вектор начало которого совпадает с началом координат (полюсом), а конец определяет положение некоторой мат. точки.

r=iх+jу+kz, где i,j,k единич. вектора, направленные вдоль осей координат.

Перемещение-вектор направленный от начальной точки к конечной, численно равный расстоянию между этими точками.

Траектория- линия которую описывает точка при своем движении

Скорость- векторная величина, харак-ся быстротой перемещения частицы по траектории и направлению, в котором движется частица в каждый момент времени.<V>=∆r/∆t;

V= iVх+jVу+kVz

Ускорение- векторная величина, хар-щая изменения скорости мат. точки с течением времени. a=ia_х+ja_у+ka_z

Криволинейное движение.

, где τ-орт вектора скорости (касательной).

Полное ускорение при криволинейном движении разложено на 2 состовляющие: на касательное ускорение

2. Идеальный газ - газ, молекулы которого пренебрежительно малого размера и между которыми отсутствуют силы взаим-ия.

Если газ поместить в поле внешних сил, то концентрация молекул и др. хар-ки связанные с конц-ией изменяться.будем считать что все силы, действующие на молекулы консервативны и во всех точках расм. объема одинакова направлены.

dp=FnSdz/S=Fndn; где n-концентрация молекул; F-сила, дейст-ая на одну молекулул сое с координатой z.

F(z)=-dU(z)/dz dP=-n(dU/dz)/dz=-ndU тюк газ идеальный P=nkT, тогда dp=kTdn; -ndU=kTdn; dn/n=-dU/kT; ln n = -U/kT+ln c:

ln n/c=-UkT n=c*exp(-U/kT); n_o=c n= n_o exp(-U/kT);- это выражение связывает конц-ию n(z) молекул идеального газа с потенциальной энергией U(z) одной молекулы при T=const во всех слоях и наз-ся формулой распределения Больцмана.

Поскольку концентрация молекул и давление связаны прямой пропорциональной зависимостью, то давление можно записать аналогично p(z)=p_oexp(-U(z)/kT)

для концентрации молекул вблизи поверхности Земли, тогда потенц. энергия газа U=mgh, h-высота на которой находиться молекула. p(h)= p_oexp(-mgh/kT)-эта формула наз-ся барометрической.

m/k=mN_A/kN_A=M/R,где М-масса одного киломоля газа, R-универсальная газовая постоянная.

Следовательно, давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ(М) и чем ниже Т.

Билет№3

1. Системой мат. точек (частиц) наз-ся любая совокупность выделенных нами мат. точек. При этом каждое тело системы может взаимодействовать, как с телами, принадлежащими этой системе, так и с телами, на входящими в нее. Силы, действующие между телами системы, называются внутренними силами. Силы, действующие на тела систетемы со стороны тел, не входящих в данную систему, называются внешними силами. Система тел наз-ся замкнутой, если она включает в себя все взаимодействующие тела, т.е в которой внешними силами можно пренебречь по сравнению с внутренними силами. Центром масс (центр инерции) механической системы наз. т. С, радиус-вектор который задан ур-ем

Дифференциальное уравнение движением центра масс:

Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Скорость движения центра масс замкнутой системы остается постоянной.

2. процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное наз-ся процессом релаксации. Время затрачиваемое на такой переход- время релаксации- время за которое первоначальное отклонение какой-либо величины от равновесного значения уменьшается в e раз. Релаксация осущ-ся за счет так наз-ых явлении переноса, приводящих к выравниванию неоднородности. Явление переноса необр. процесс. к явлениям переноса относятся: Диффузия, теплопроводность, вязкость. Явления переноса хар-ны для идеального газа. идеал. газ был определен как газ, молекулы которого двигаются от соударения до соударения без взаимодействия в первом приближении будем представлять молекулы в виде твердых шариков со вполне определенным диаметром. минимальное расстояние d между центрами сблизившихся при соударении молекул наз-ют эффективным диаметром молекулы. величина σ=πd^2(м^2) наз=ся эффективным сечением столкновения. число соударений в единицу времени ν=(√2)πd^2<V>n=(√2)σ <V>n

средняя длина свободного пробега молекулы: λ=<V>/ν=1/(√2)σn пир этом длина свободного пробега не зависит от температуры, т к ни одна величина от Т не зависит. В реальном газе зависимость потенциальной энергии взаимодействия молекул от взаимного расстояния r между ними описывается кривой

чем меньше температура (меньше скорость движения молекул) тем больше эффективное сечение и тем меньше длина свободного пробега.

Билет№4

1. Потенциальная энергия представляет собой ту часть полной механической энергии, которая зависит только от конфигурации системы. Т.е. потенциальная энергия есть энергия взаимодействия, зависящая от взаимного расположения частиц системы и от характера сил взаимодействия. потенц. энер-ия есть функция только координат и определяется состоянием системы. Численно потенциальная энергия частицы в данном положении равна работе, которую совершает действующие на частицу силы поля при перемещении из данного положения в положение в положение, в котором потенциальная энергия условно принимается равной нулю. Мерой изменения потенц. энергии является работа. Для внутренних сил А₁₂=-∆U=U₁-U₂ Работа внешних сил действ. против сил поля приводит наоборот к приращению потенциальной энергии А₁₂=∆U=U₂-U₁

связь силы с потенц. энергией: осуществим элементарное перемещение dl. Силы поля а это случае совершат элементерную работу dA, равную убыли потенц. энергии т.е dA=-dU так как dA=Fdl(→), то в координатной форме Fxdx+Fydy+Fzdz=-dU; F(→)=i(→)Fx+j(→)Fy+k(→)Fz=-(i(→)∂U/∂x+j(→)∂U/∂xy+k(→)∂U/∂z)=-grad U т.е сила равна градиенту потенц. энергии, взятому с обратным знаком.

потенц. энергия упругого взаимодействия:

F(x)=-βx и F(x)=-dU/dx то - βx=-dU(x)/dx dU(x)=βxdx à U(x)=1/2βx^2+c приняв U(0)=0 найдем что c=0 и тогда U(x)=1/2βx^2

потенц. энергия грвитационного взаимодействия: согласно закону всемирного тяготения F(r)(→)= γMmr(→)/r^2 r т.к для поля центральных сил F(r)(→)= -dU/dr*r(→)/r то dU/dr=γMm/r^2 разделяя переменные и интегрируя, находим U(r)= -γMm/r+c c=0, U(r)= -γMm/r

2.распределение Максвелла. Распределение Максвелла по скоростям:

Распределение Максвелла по компонентам скорости ():

Распределение Максвелла по абсолютным значениям скорости:

Билет№5

2.Пусть в сосуде в виде куба со стороной l находится N молекул. Рассмотрим движение одной из молекул. Пусть молекула движется из центра куба в одном из 6 возможных направлений (рис.1), например параллельно оси Х со скоростью v. Ударяясь о стенку А куба молекула оказывает на него давление (см. рис. 2). Найдем его. Согласно второму закону Ньютона сила давления , где . Предполагая, что происходит абсолютно упругий удар, имеем v₁=v₂=v. Изменение импульса . Молекула вернется в исходное состояние (в центр куба) спустя время dt=(0.5l+0.5l)/ v= l/ v. В итоге получаем выражение для силы давления, оказываемого на стенку сосуда одной молекулой

.(10)

Если число молекул в сосуде N, то к cтенке А движетсяв среднем N/6 молекул и они создают среднюю силу давления на стенку

,(11)

где <v ²> - cредний квадрат скорости молекул [cм. формулы (17), (18)].

Давление, оказываемое на стенку сосуда, площадь которой S=l²,

(12)

Учитывая, что N/l³=N/V=n, т.е. равно концентрации молекул, а также, что

(13)-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа, получаем из (12) основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа . (14) Такое же давление производят молекулы на другие стенки сосуда, поскольку молекулы газа движутся хаотически и не имеют какого-либо преимущественного направления движения. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. С точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекулы. <e_пост>=3/2kT

Билет №6

1) Движущаяся материальная точка обладает определенным запасом энергии, связанной с самим наличием скорости, наз. кинетической энергией.

Кинет. э. мат. точки есть скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скороти

или

Теорема: Пусть мат. точка массой m под действием приложенной к ней силы F получила перемещение на dl. Спроецировав векторы ур-ия ma=F на касательную к траектории в месте положения точки, получим .

Изменение кин. э. равно работе приложенных к точке сил.

Сл-но энергия имеет такую же размерность как и работа. Это дает возможность измерять энергию в тех же единицах, какие используются для измерения работы. Потенциальная энергия тела массы m в близи земной поверхности: U=mgh. Потенциальную эн. Сл-ет относить к сис-ме взаимодействующих друг с другом тел. П.эн. системы тел зависит от их расположения по отношению друг к другу. Потенциальная энергия пружины: U=kx^2/2. Каждой точке потенциального поля соответствует, некоторое значение f-вектора, и значение U. àмежду f и U должна сущ-вать определенная связь. 1)∆A=f_s∆s.поскольку A совершается за счет запаса U, то она равна -∆U на ∆s à ∆A=-∆U.: f_s∆s=-∆Uà f_s=-∆U/∆s.ето выражение дает среднее значение f_s на отрезке. Чтобы получить значение в точке нужно найти предел f_s=-lim(∆sà0) ∆U/∆s. поскольку U может изменяться не только при перемещении вдоль оси с но также и вдоль других, то этот предел представляет собой так наз-ю частную прои-ную U по s: f_s=-∂U/∂s. ето справедливо для любых направлений в пространстве. В частности и для корд. Осей. (написать сис-му из таких же Ур-ний для x,y,z) эти Ур-ния определяют проекции вектора силы на корд. Оси. Если они известны то можно найти вектор f = -(∂U/∂x*i+∂U/∂y*j+∂U/∂z*k). В матем.вектор заключенный в скобках наз-ся градиентом этого скаляра и обозначается символом grad a. àf=-gradU.

2)молек.ф. представляет собой раздел ф., изучающий строение и свойства вещ-ва, исходя из молекул.-кинет. Представлений. Согласно этому любое тело-состоит из большого кол-ва очень маленьких обособленных частиц. Они находятся в хаотическом движении. Его интенсивность зависит от температуры вещ-ва. Док-вом этого служит броуновское движение. МКТ ставит себе целью истолковать свойства тел наблюдаемые на опыте (давление, температуру) как суммарный результат действия молекул. Статистический метод-использую лишь средними величинами, кот. Хар-ют движение огромной совокупности частиц. Изучением различных св-в тел и изменений сост. В-ва занимается термодинамика. В отличие от МКТ изучает макроскопические св-ва тел и явлений природы, не интересуясь их микроскопической картиной. Положения: 1) все тела состоят из большого числа мельчайших частиц.2) эти частицы непрерывно и хаотически движутся. 3)частицы взаимодействуют друг с другом. молекулы газа находясь в тепловом движении непрерывно сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние на которое сближаются при столкновении центры двух молекул называются эффективным диаметром молекулы d. D несколько уменьшается с увеличение скорости молекул, т.е с повышением T.величина σ=πd^2- наз-ся эф.сечением молекулы. За время между двумя последовательными соударениями молекула газа проходит некоторый путь l, который наз-ся длиной свободного пробега, случайная величина. Вер-ность что молекула пролетит путь без столкновений определяется формулой ω(l)=e^(-l/λ),где λ-средний путь l, проходимый

молекулой между двумя последовательными соударениями, наз-мый средней длиной свободного пробега. λ = v /ν,где v - средняя скорость, ν-кол-во столкновений за секунду. ν’=πd^2 v n,где πd^2 v обьем коленчатого цилиндра длины v и радиуса d, n-число молекул в единице обьема. Но средняя скорость в √2 раз больше скорости v молекул à ν=√2πd^2 v n à λ=1/(√2πd^2n). à σ=πd^2à λ=1/(√2 σ n). при T=const n изменяется пропорционально p, средняя длина λ ~1/p.; зависимость λ от Т дается формулой Сезерленда λ= λ_∞ (T/(T+C)), С постоянная Сезерленда. Она учитывает собственный объем молекулы V₀ и поэтому объем сосуда V заменяют свободным объемом V-b, где b=4V₀N_A. В итоге получаем уравнение Клаузиуса для одного моляP=RT/(V-b).(1)Вторая поправка связана с действием сил притяжения между молекулами: в тонком поверхностном слое вблизи стенки сосуда на молекулу, подлетающую к стенке, действует сила притяжения со стороны остальных молекул газа, что приводит к уменьшению силы удара молекулы о стенку сосуда, а, следовательно, и давления на величину DP~ , в результате имеем P=RT/(V-b) - a/ или (P+ a/ )(V-b)=RT, (2)которое называют уравнением ВдВ для одного моля газа. В этом уравнении а и b - постоянные, зависящие только от вида газа. Идеаьным называется газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и не взаимодействуют друг с другом на расстоянии.

Билет №7

1) p=mv-импульс материальной точки. Рассмотрим сис-му материальных точек. Импульсом системы р наз-ся векторная сумма импульсов тел образующий сис-му: p=p1+p1+…+pn=∑(i=1,N)pi.

При отсутствии внешних сил импульс остается неизменным. Так как d(mυ)=0, то p=mυ.

Если система замкнута, то импульс внешних сил равен нулю, следовательно,

При постоянной массе системы:

;

Полный импульс замкнутой системы сохраняется.

Третий з-н Ньютона: Силы, с которыми тела действуют друг на друга всегда равны по величине и противоположны по направлению.

2) Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры, скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев, то происходит самопроизвольное выравнивание этих неоднородностей. В газе возникают потоки вещества, энергии, импульса упорядоченного движения молекул. Эти потоки, характерные для неравновесных состояний газа, являются физической основой особых процессов, объединенных общим названием " явления переноса ".К этим явлениям относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение. Это перенос теплоты (внутренней энергии) от более нагретых мест к менее нагретым. Фурье (1822 г.) установил, что количество теплоты , которое переносится вследствие теплопроводности через площадку dS^ за время dQ= -c(dT/dx) dS^dt,(3)где характеризует скорость изменения температуры Т на единицу длинны х, - коэффициент теплопроводности. Можно показать, что для газов (4)где с_V - удельная теплоемкость при постоянном объеме газа. Знак минус в (3) указывает, что при теплопроводности перенос внутренней энергии происходит в направлении убывания температуры, т. е. вдоль оси ОХ, если .Это перенос массы из мест с большей плотностью r к местам с меньшей плотностью.Фик (1855 г) установил,

что перенесенная масса dm через расположенную перпендикулярно направлению переноса вещества площадку dS^ за время dtdm= - D(dr/dx) dS^dt,(1)где dr/dx характеризует скорость изменения плотности rна единицу длины x,D - коэффициент диффузии.Можно показать, что для газов .(2)Знак минус в (1) указывает, что перенос массы при диффузии происходит в направлении убывании плотности, т. е. вдоль оси ох, если r ₂>r₁ (dr/dx<0). Внутреннее трение (вязкость) Оно возникает между слоями жидкости или газа, движущимися упорядоченно с различными скоростями u. Из за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее - увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее и ускорению слоя, движущегося медленнее.Согласно закону Ньютона (1687 г) сила внутреннего трения между слоями газа (жидкости) , (5)где (du/dx) характеризует быстроту изменения скорости u на единицу длины x, S - площадь, на которую действует сила (площадка S перпендикулярна х), -коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость)Можно показать, что (6) Знак минус в (5) указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости слоев u. Анализ формул (2), (4), (6) показывает, что <l>/(h c_V)=1. (7)

Билет №8

8.1) Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ. Такое твердое тело имеет одну степень свободы и его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного, начального положения этого тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt полагают вектор элементарного поворота тела. По модулю он равен углу поворота тела за время dt, а его направление совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, направление вращения рукоятки которого совпадает с направлением вращения тела. Вектор угловой скорости . (4) Если - радиус вектор, проведенный из некоторой точки О на оси вращения ОZ до произвольной материальной точки тела, то скорость этой точки определяется соотношением , (5) где -составляющая вектора , перпендикулярная оси, т.е. - кратчайшее расстояние от оси до материальной точки.

Моментом силы относительно оси Oz наз. величина:

где α- угол между радиусом круговой траектории точки А и направлением действия составляющей силы , Rsinα=h равно длине перпендикуляра, опущенного из точки А на линию действия составляющей силы . Эта величина наз. плечом силы F. момент силы есть мера силового воздействия одного тела на другое при вращении последнего.

Моментом импульса dm относительно оси Oz:

где R – расстояние от элемента dm до оси вращения, υ –линейная скорость этого элемента.

Так как υ=ωR, то

где ,наз. моментом инерции элемента dm относ. оси Oz.Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, имеет вид dL_z/dt = M_zВНЕШН, (6) где M_zВНЕШН - проекции моментов импульса и момента силы M_zВНЕШН на ось вращения z. Выведем другое выражение для уравнения (6). Определим момент импульса относительно точки О, лежащей на оси Оz, полагая , где - центр окружности, по которой движется i-я материальная точка твердого тела, тогда .Первое слагаемое перпендикулярно оси ОZ, а второе параллельно, так как . Таким образом или , (7) где величина (8)называется моментом инерции тела относительно оси Z. Тогда уравнение динамики тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z [см. (6)], можно записать в виде M_zВНЕШН или M_zВНЕШН. (9) В механике твердое тело обычно рассматривают как механическую систему, масса т которой непрерывно распределена по объему V тела, так что при вычислении момента инерции тела, суммирование в формуле (8), переходит в интегрирование , (10)где - плотность тела, - масса малого элемента объема dV, отстоящего от оси вращения тела на расстоянии . Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера: , (11)где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной оси Z; d - расстояние между осями.

8.2) Задачей термодинамического метода изучения состояний макроскопических систем является установление связей между непосредственно наблюдаемыми величинами, такими, как давление, объем, температура, концентрация раствора, напряженность электрического или магнитного поля, световой поток и т.д. Никакие величины, связанные с атомно-молекулярной структурой вещества (

размеры атома или молекулы, их масса, количество и т.д.), не входят в рассмотрение при термодинамическом

подходе к решению задач. Термодинамический метод, не связанный с модельными представлениями, обладает большей общностью, отличается простотой и ведет, после ряда простых математических процедур, к решению целого ряда конкретных задач, не требуя никаких сведений о свойствах атомов или молекул. Однако при термодинамическом рассмотрении остается нераскрытым внутренний (атомно-молекулярный) механизм явлений. В основе термодинамики лежат принципы, являющиеся обобщение опытных данных: принцип температуры (часто называемый нулевым началом термодинамики), принцип энергии (I начало), принцип энтропии (II начало) и постулат Нернста (III начало термодинамики). Термодинамические системы. Равновесные состояния и равновесные процессыБудем называть термодинамической системой любое макроскопическое тело, находящееся в равновесном или близком к равновесному состоянию. Состояния любой термодинамической системы могут быть заданы с помощью ряда параметров, например, для газа P, V, T, для жидкости - a (коэффициент поверхностного натяжения), s (поверхность пленки), Т и.т.д. Можно, например, представить себе систему, температура которой меняется от точки к точке, или газ, в разных точках которого давление различно. Такие состояния называются неравновесными. Обычно по прошествии некоторого времени устанавливается состояние, в котором каждый такой параметр имеет одно и то же значение во всех точках системы и остается неизменным сколь угодно долго, если не меняются внешние условия. Такие состояния называются равновесными. Представим себе процесс, протекающий в термодинамической системе со скоростью, значительно меньшей скорости релаксации; это значит, что на любом этапе этого процесса значения всех параметров будут успевать выравниваться и такой процесс будет представлять собой последовательность бесконечно близких друг к другу равновесных состояний. Такие достаточно медленные процессы принято называть равновесными или квазистатическими. Ясно, что все реальные процессы являются неравновесными и могут лишь в большей или меньшей степени приближаться к равновесным. Для каждой термодинамической системы существует состояние термодинамического равновесия, которое она при фиксированных внешних условиях достигает. Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U - энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.) и энергия взаимодействия этих частиц. К внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. 1. Путем совершения работы внешними телами над системой, например, при сжатии газа температура его повышается и, следовательно, изменяется (увеличивается) его внутренняя энергия.2. Путем теплообмена, т.е. процесса обмена внутренними энергиями при контакте тел с различными температурами. Энергию, передаваемую от одних тел к другим в процессе теплообмена, называют теплотой.6. ТеплоемкостьУдельная теплоемкость вещества - величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К: , Дж/(кгК). (9)Молярная теплоемкость - величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К: , Дж/(мольК). (10)где n=m/M - количество молей вещества.

Билет№9

Механической работой или просто работой по­стоянной силы на перемещении называется скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы, мо­дуля перемещения и косинуса угла между этими векторами.

Если работу обозначить буквой А, то по определению

Работа любой постоянной силы обладает следующими двумя свойствами:

1. Работа постоянной силы на любой замкнутой траек­тории всегда равна нулю.

2. Работа постоянной силы, совершаемая при перемещении частицы из одной точки в другую, не зависит от формы тра­ектории, соединяющей эти точки.

По формуле можно находить работу лишь посто­яннойсилы. Если же действующая на тело сила меняется от точки к точке, то работа на всей территории определяется по формуле:

Когда какой-либо механизм совершает работу, надо отличать полную работу от полезной, т. е. от той работы, ради которой и используется данное устройство (механизм).

Коэффициент полезного действия равен:

Мощность – есть величина равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения.

Когда работа совершается моментом силы, приложенной к телу, вращающемуся относительно оси Oz угловой скоростью ω, мощность равна:

Силовым полем наз. область пространства, в которой на помещенную туда материальную точку, действует сила, зависящая от координат и от времени.

Поле, остающееся постоянным во времени называется стационарным. Для стационарного поля может оказаться, что работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути, по которому двигалась частица. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными. Поле консервативных сил наз. потенциальным.

Центральной наз. сила, линия действия которой во всех положениях проходит через некоторую точку, наз. центром силы. Работа консерв. сил по замкнутому контуру равна нулю.

9.2) Q=DU+A.(4)Уравнение (4) выражает ПНТ: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил. Для бесконечно малых процессов выражение (4) записывают в дифференциальной форме dQ=dU+dA или в более корректной форме ,(5)поскольку только dU является полным дифференциалом, а dQ и dА полными дифференциалами не являются. Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, то изменение ее внутренней энергии DU=0. Тогда, согласно (4) А= Q, т.е. вечный двигатель первого рода, который совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия, не возможен. Это одна из формулировок первого начала термодинамики. 7. Применение ПНТ к изопроцессам.1. Изохорический процесс. Для него V=const. Диаграмма этого процесса (изохора) изображена на рис.3. Процесс 1-2 соответствует нагреванию, а процесс 2-1 - охлаждению газа. При изохорическом процессе газ не совершает работы: =0 и вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии, т.е. dQ=dU. (11) Согласно формуле (3) для произвольной массы газа и поэтому , (13)Таким образом, . (14) 7.2.Изобарический процессДля него P=const. Диаграмма этого процесса (изобара) изображена на рис.4. Практически он осуществляется, например, при нагревании (процесс 1-2) или охлаждении (процесс 2-1) газа, находящегося в цилиндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление. Учитывая, что для произвольной массы газа U=(i/2)nRT, PV=nRT, запишем ПНТ в дифференциальной форме для изобарического процесса: , (15)Молярная теплоемкость при постоянном давлении . (16)Выражение (17)называется уравнением Майера; оно показывает, что C_P всегда больше C_V на величину универсальной газовой постоянной R. Это объясняется тем, что для нагревания газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа.Таким образом, физический смысл универсальной газовой постоянной R: она численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при его изобарическом нагревании на 1 К.С учетом (16) первое начало термодинамики для изобарического процесса имеет вид , (18)кроме того, , . .3. Изотермический процесс Для него Т-const. Например, процессы кипения, конденсации, плавления и кристаллизации химически чистых веществ происходят при постоянной температуре, если внешнее давление постоянно. Дл идеального газа при Т=const выполняется закон Бойля-Мариотта PV=const. Диаграмма изотермического процесса (изотерма) изображена на рис.5. Процесс 1-2 соответствует нагреванию газа, а процесс 2-1 - охлаждению его. Внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе не изменяется, т.е. =0, так как Т=const и dT=0. Таким образом из ПНТ () следует, что , т.е. вся теплота, сообщаемая газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил: , (19)гдеn =m/M - число молей.Процесс 1-2 (см.рис.5) соответствует изотермическому расширению газа, в этом случае Q₁₂>0 и A₁₂>0. Обратный процесс 2-1 соответствует изотермическому сжатию газа, для него Q₁₂<0 и A₁₂<0.

Билет №10.

1) В современной физике различают 4 вида взаимодействий: 1)Гравитационное (или всемирное тяготение) 2)Электромагнитное (осущ. через электрич. или магнитные поля) 3) сильное или ядерное (обеспечивающее связь между частицами в ядрах) 4)слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц). Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными – их нельзя свести к другим, более простым силам. Упругие же силы и силы трения не являются фундаментальными.

Всякое тело под действием приложенных сил деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил, тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругая деформация наблюдается в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определённого для каждого тела предел(предел упругости) F=kΔl k-коэффициент жёсткости. данное соотношение выражает закон Гука для стержня. этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.Рассмотрим систему из двух электрически нейтральных частиц m1 и m2, удалённых друг от друга на расстояние r. Вследствие всемирного тяготения эти частицы притягивают друг друга F=γm1m2/r² - Гравитационная сила. Гравитацией называется универсальное взаимодействие между любыми видами материи. Закон всемирного тяготения гласит, что материальные точки с массами m1и m2 притягивают друг друга с силой, прямопропорциональной массам этих точек, и обратно пропорц. Квадрату расстояния между ними F=Gm1m2/r² G-гравитационная постоянная. Эквивалентности принцип, утверждение, согласно которому поле тяготения в небольшой области пространства и времени по своему проявлению тождественно ускоренной системе отсчёта. Суть Э. п. состоит в следующем. В поле тяготения все тела движутся с одинаковым ускорением, независимо от их массы и других свойств (закон Галилея). Однако в отсутствие поля тяготения, при наблюдении из ускоренной системы отсчёта (например, из ракеты, летящей с ускорением под действием двигателя) все тела, движущиеся по инерции, также имеют одинаковое ускорение по отношению к этой системе отсчёта. В этом смысле ускоренная система отсчёта эквивалентна полю тяготения. Э. п. в применении только к законам движения тел в пространстве называется «слабым принципом эквивалентности». Альберт Эйнштейн при создании общей теории относительности (теории тяготения) предположил, что не только механическое движение, но и любые физические процессы при одинаковых начальных условиях протекают совершенно одинаково в поле тяготения и вне его, но в ускоренной системе отсчёта. Это утверждение называется «сильным принципом эквивалентности». Э. п. является локальным, т. е. тождественность поля тяготения ускоренной системе отсчёта справедлива лишь в небольшой области пространства и времени, в которой поле тяготения можно считать однородным и постоянным во времени.

Силы трения Они появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. Трение, возникающее при относительном перемещении тел называется внешним трением; если при этом нет смазки, то трение называют сухим. Формула, определяющая силу трения: F=k*N, где N - прижимающая сила. k - коэффициент, значение которого находят экспериментальным путем. Различают вязкое трение, сухое трение, трение качения, трение покоя и для каждого находят свой коэффициент. Обычно для пары трущихся поверхностей определяют коэффициент трения покоя и трения скольжения, чтобы можно было вычислить силу для страгивания с места и силу трения при движении. В большинстве случаев сила трения скольжения не зависит от скорости, в определенных пределах. Но в действительности этот коэффициент может изменяться в зависимости от скорости, прижимающей силы, температуры и других условий. Для решения теоретических задач просто считают коэффициент постоянной величиной.

2) Первое начало термодинамики, один из двух основных законов термодинамики, представляет собой закон сохранения энергии для систем, в которых существенное значение имеют тепловые процессы. Согласно П. н. т., термодинамическая система (например, пар в тепловой машине) может совершать работу только за счёт своей внутренней энергии или каких-либо внешних источников энергии. П. н. т. часто формулируют как невозможность существования вечного двигателя 1-го рода, который совершал бы работу, не черпая энергию из какого-либо источника.

При сообщении термодинамической системе некоторого количества теплоты Q в общем случае происходит изменение внутренней энергии системы D U и система совершает работу А: Q = D U + A (1)

Уравнение (1), выражающее П. н. т., является определением изменения внутренней энергии системы (D U), так как Q и А — независимо измеряемые величины.

Внутреннюю энергию системы U можно, в частности, найти, измеряя работу системы в адиабатном процессе (то есть при Q = 0): А _ад = — D U, что определяет U с точностью до некоторой аддитивной постоянной U₀:

U = U + U₀ (2)

П. н. т. утверждает, что U является функцией состояния системы, то есть каждое состояние термодинамической системы характеризуется определённым значением U, независимо от того, каким путём система приведена в данное состояние (в то время как значения Q и А зависят от процесса, приведшего к изменению состояния системы). При исследовании термодинамических свойств физической систем П. н. т. обычно применяется совместно со вторым началом термодинамики. Адиабатный процесс, процесс, происходящий в физической системе без теплообмена с окружающей средой. А. п. можно осуществить в системе, окруженной теплоизолирующей (адиабатной) оболочкой. Пример такого А. п. — рабочий такт тепловой машины, при котором газ (пар) расширяется в цилиндре с теплоизолирующими стенками и поршнем, при отсутствии необратимых превращений работы трения в теплоту.

А. п. можно реализовать и при отсутствии адиабатной оболочки; для этого он должен протекать настолько быстро, чтобы за время процесса не произошло теплообмена между системой и окружающей средой. Так происходит, например, сжатие газа ударной волной, при котором газ, не успевая отдать выделившуюся теплоту, сильно нагревается. При скорости волны порядка 1 км/сек (скорости, достигнутой современными сверхзвуковыми самолётами) и сжатии воздуха под действием ударной волны в 4 раза температура воздуха повышается до 700°С. Адиабатное расширение газа с совершением работы против внешних сил и сил взаимного притяжения молекул вызывает его охлаждение. Такое охлаждение газов лежит в основе процесса сжижения газов. А. п. размагничивания парамагнитных солей позволяет получить температуры, близкие к абсоллютному нулю.

А. п. могут протекать обратимо и необратимо. В случае обратимого А. п. энтропия системы остаётся постоянной. Поэтому обратимый А. п. называют ещё изоэнтропийным. На диаграмме состояния системы он изображается кривой, называемой адиабатой, или изоэнтропой. В необратимых А. п. энтропия возрастает. Адиабата - линия, изображающая на любой термодинамической диаграмме равновесный адиабатный процесс (т. е. процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой). А. имеет простейший вид для идеальных газов. Уравнение А. в этом случае: pu g = const ., где р — давление газа, u — его удельный объём, g — показатель адиабаты, постоянная для данного газа величина, равная отношению теплоёмкостей газа, определённых при постоянном давлении (c_p) и постоянном объёме (c_u); g = с_р / c_u. Для одноатомных газов (аргона, неона и др.) при обычных температурах g = 1,67, для двухатомных (водорода, азота, кислорода и др.) g = 1,4. Рис. даёт А. для g = 1,4. При очень низких температурах (вблизи абсолютного нуля) и при высоких (свыше 1000°С) характер кривой несколько иной, т. к. g зависит от температуры и давления.

.

Политропный процесс термодинамический процесс, характеризующийся постоянной теплоемкостью; для идеального газа описывается уравнением pVn=const, где n - постоянная, называемая показателем политропы

Билет №11

11. 1) Инерциальной называется такая система отсчета, в которой свободное движение тела с постоянной массой происходит с постоянной по величине и направлению скоростью.

Механический принцип относительности: никакими механическими методами, в пределах данной инерциальной системы отсчета (ИСО), нельзя установить движется эта СО прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя. (Позже Эйнштейн установил, что и никакими физическими методами). Механический принцип относительности, объединенный с предложением об одинаковости течения времени во всех ИСО наз. принципом относительности Галилея.

Во всех инерциальных системах отсчета законы механики одинаковы.

Для его доказательства рассмотрим две ИСО, K(x, y, z, t) и K’(x’, y', z', t'), движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью , вдоль направления OX, рис.

Предположим, что в начальный момент времени t обе координатные системы совпали, тогда

. (1)

Запишем (1) в проекциях

(2)

аналогичные соотношения между остальными координатами. Формулы обратного преобразования имеют вид

(3)

. (4)

Формулы (1) - (4) носят название преобразований Галилея. В них время считается абсолютным и поэтому не преобразуется.

Соотношения (1) - (4) справедливы лишь в рамках классической механики, когда V<<c.

Дифференцируя (1) по времени t, получим

или , (5)

где - скорость точки М в системе отсчета K, а - в системе K'.

Видно, что скорость неинвариантна по отношению к преобразованию Галилея.

Дифференцируя (5) в предположении , получим

или . (6)

Ускорение инвариантно относительно преобразования Галилея.

Отсюда следует, что все физические величины, связанные со скоростью неинвариантны, а величины, связанные с ускорением, инвариантны по отношению к преобразованию Галилея.

Внутренняя энергия идеального газа. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы

Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U - энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.) и энергия взаимодействия этих частиц. К внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

понятие числа степеней свободы i: это число независимых координат, полностью определяющих положение тела (материальной точки, системы материальных точек) в пространстве. Так, например, положение материальной точки определяется тремя координатами (x, y, z), следовательно, i=3. Тонкий стержень имеет 5 степеней свободы (x, y, z, a, b), т.е. 3 поступательные и 2 вращательные, твердое тело имеет 6 степеней свободы (x, y, z, a, b, g), т.е. 3 поступательные и 3 вращательные.

С учетом этого для одноатомных молекул газа (He, Ne, Ar) i=3, для двухатомных молекул газа (H₂, O₂, N₂) с жесткой связью атомов i=5, для трех- и более атомных молекул газа с жесткой связью атомов (CO₂, NH₃) i=6.

Естественно, что жесткой связи между атомами не существует - атомы могут совершать колебания. С учетом этого полное число степеней свободы iå=i+2i_колеб. В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью атомов, для них i_колеб.=0.

Итак, независимо от числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из них не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <W_k> [см.(16) в лекции 1,2], т.е.

<W_k>/3 = kT/2.

Важнейший закон классической статистической физики - закон равномерного распределения энергии по степеням свободы - утверждает: на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная kТ/2.

Следовательно, средняя кинетическая энергия молекулы, имеющей i степеней свободы, <W_k> = kT.(1)

Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю (т.е. молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия U представляет собой кинетическую энергию его молекул.

Для одного моля

,(2)

для произвольной массы m газа

, (3)

где М - масса моля, n=m/M - число молей.

Таким образом, внутренняя энергия идеального газа пропорциональна температуре газа и зависит от числа степеней свободы его молекул.

Билет №12

1) Момент инерции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z,  — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину k, называемую радиусом инерции, по формуле I_z = Mk², где М — масса тела. Размерность М. и. — L²M; единицы измерения — кгм² или гсм².

Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z, проведённых в точке О, называют величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений I_xz и I_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

М. и. относительно параллельных осей z и z' связаны соотношением

I_z = I_z' + М d² (3)

где z' — ось, проходящая через центр масс тела, a d — расстояние между осями (теорема Гюйгенса).

М. и. относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами , ,  находится по формуле:

l_ol = I_x² + I_y² + I_z² — 2I_xy — 2I_yz — 2I_zx. (4)

Зная шесть величин I_x, I_y, I_z, I_xy, I_yх, I_zx, можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых I_xy = I_yz = I_zx = 0. Тогда М. и. тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей.

теорема Штейнера-Момент инерции тв. Тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела относительно оси проходящий через центр масс и параллельно выбранной оси плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между ними.

Теорема Кёнига

В ньютоновской механике разрешено работать в любой инерциальной системе отсчета. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую динамические характеристики системы изменяются (плата за «свободу» выбора системы отсчета).. Рассмотрим, как изменяется при переходе из одной системы отсчета в другую кинетическая энергия. Начнем с самой простой ситуации - кинетической энергии материальной точки. Согласно закону сложения скоростей: V = V’ + U (1) где V скорость тела в «неподвижной» системе отсчета (СО), V’ - скорость тела в «движущейся» СО, и наконец, U - скорость «движущейся» СО относительно неподвижной. Возведем скалярно в квадрат обе части уравнения (1): V² = V’² + U² +2 V’U (2) Уравнение (2) умножим на массу материальной точки m и разделим пополам, получим закон преобразование кинетической энергии материальной точки: k=k’ +mU²/2+mV’U (3) Этот форма преобразования, по сравнению с соотношением (1) более громоздкая, и на практике применяется редко. Рассмотрим, как выглядит это соотношение для кинетической энергии сложной системы. Для каждой материальной точки системы можно записать соотношение типа (3), а затем их все просуммировать: K=K'+MU²/2+U S m_i V’_i (4) Выражение S m_i V’_i можно представить как произведение массы системы М на скорость центра масс и тогда соотношение (4) принимает вид: K=K'+MU²/2+U M V’_ц.м. (5) Кёниг предложил рассматривать в качестве «движущейся» СО систему, связанную с центром масс, тогда в этой системе V’_ц.м. =0 и соотношение (5) принимает вид математической формулировки теоремы Кёнига: K=K'+MV_ц.м.²/2

Переведем эту теорему с математического языка:

Кинетическая энергия сложной системы (К) представляется как сумма кинетической энергии движения как целого со скоростью центра масс (M V’_ц.м./2)и суммарная кинетическая энергия движения материальных точек системы относительно центра масс (К').

2) Можно, например, представить себе систему, температура которой меняется от точки к точке, или газ, в разных точках которого давление различно. Такие состояния называются неравновесными.

Обычно по прошествии некоторого времени устанавливается состояние, в котором каждый такой параметр(P,V,T) имеет одно и то же значение во всех точках системы и остается неизменным сколь угодно долго, если не меняются внешние условия. Такие состояния называются равновесными.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: