Тема 10. Ряды динамики и ряды распределения.

Например, вот такое распределение посетителей магазина по возрасту является рядом распределения:

Ряды распределения, построенные по атрибутивным признакам (таким признакам, которые нельзя выразить числом), называются атрибутивными. Пример таких рядов - распределение населения по полу, профессии, образованию и т.п.

Другой тип рядов распределения - вариационные - это ряды, построенные поколичественному (выражаемому числом) признаку. Например, распределение населения по возрасту или доходам, покупателей -по суммам покупок и т.п. - это вариационные ряды.

Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов - вариант и частот (весов). Варианта - это само числовое значение признака, а частота (вес) - число, показывающее, как часто встречается данная варианта в ряду распределения. Сумма всех частот составляет объем изучаемой совокупности.

Для характеристики вариант и частот используют также такой показатель, как частость - то есть частоты, выраженные в виде относительных величин (в процентах или долях единиц). Сумма частостей равна 100%, если измеряется в процентах, или единице - если в долях.

Давайте рассмотрим, что и как можно делать с рядами распределения. Предположим, что мы собрали такие данные о суммах (в рублях), затраченных покупателями на товары в одном из отделов нашего магазина:

113, 58, 58, 109, 79, 156, 113, 109, 109, 25, 79, 79, 109, 156, 58, 58, 109, 31, 113, 31, 109, 79, 58, 79, 109, 79, 156, 79, 79, 31, 79, 113, 79

Что можно сразу увидеть в этом ряду? То, что некоторые числа повторяются, то есть некоторые покупатели затратили на покупки одинаковые суммы. Но, согласитесь, даже с таким относительно небольшим количеством цифр работать уже непросто, а если их в десятки раз больше? Чтобы ряды распределения легко было анализировать, применяют определенные способы их упорядочения.

Первое, что можно делать с таким рядом, - это ранжировать, то есть упорядочить по возрастанию или убыванию содержащихся в нем чисел.

После ранжирования по возрастанию наш ряд будет выглядеть так:

25. 31, 31, 31, 58, 58, 58, 58, 58, 79, 79, 79, 79, 79, 79, 79, 79, 79, 79, 109, 109,109,109,109,109,109,113,113,113,113,156,156,156

Уже проще, по крайней мере, видно, какие максимальные и минимальные суммы потратили покупатели, и какие суммы встречаются чаще других. Но чтобы сделать анализ ряда распределения еще более удобным, обычно его организуют следующим образом:

Чтобы получить такую таблицу, мы подсчитали частоту каждой варианты, то есть сколько раз она встречается в ряду, выписали все варианты и под каждой вписали ее частоту. Верхняя строка таблицы приведена для примера и удобства обозначения, если вариант немного, то ее писать необязательно, ведь порядковый номер каждой варианты можно посчитать и так. Частость определяется как отношение частоты к сумме частот. Например, для 1-ой варианты частость будет равна 1:33*100% = 3%. (где, 1 – частота данной варианты, 33 – сумма частот всех вариант).

Теперь, когда мы наши неупорядоченные данные превратили в удобную для работы таблицу, их можно анализировать. Что же мы видим? Чаще всего наши покупатели тратили на товар 79 рублей. Как мы об этом узнали - просто посмотрели на строку "Частота", нашли самое большое значение (f4= 10) и нашли соответствующую этой самой большой частоте варианту (х4=79).

О чем нам говорит представленный в примере ряд распределения, и какие выводы можно сделать? Во-первых, видны наиболее и наименее часто встречающиеся суммы покупок, следовательно, можно сделать предварительный вывод о том, какие товары пользуются наибольшим и наименьшим спросом. Сравнение рядов распределения сумм покупок в разных магазинах тоже может дать полезную информацию. Например, если в одинаковых отделах с примерно одинаковым ассортиментом ряды распределения сумм покупок сильно отличаются, это сигнал к тому, чтобы искать причину может быть, дело в продавцах, или в рекламе, или в расположении товаров на полках и витринах.

Вариационные ряды делятся на дискретные и непрерывные. Дискретные ряды построены из дискретных (прерывных) величин, которые отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (например, число детей в семье, количество посетителей магазина и т.п.). Непрерывные же ряды построены на непрерывных признаках, отличающихся друг от друга на сколь угодно малую величину и принимающих любые значения, в том числе и дробные. Примером непрерывного ряда может быть распределение времени, затрачиваемого на обслуживание одного клиента. Способы построения дискретных и непрерывных рядов различны. Если ряд состоит из не очень большого количества вариант, его можно оформить в виде таблицы, как мы уже делали в примере с суммами покупок.

Как Вы убедились, построить дискретный ряд распределения несложно. А как быть, если признак изменяется непрерывно (например, время на проведение какого-то действия), или количество значений дискретного признака достаточно велико? В таких случаях строят так называемые интервальные ряды - ряды распределения, состоящие из определенных групп значений признака (интервалов - "от и до"). Например, при исследовании в магазине мы могли получить такие данные, как время, которое покупатель проводит в очереди в кассу, измеренное, предположим, с точностью до минуты. Что делать с этими данными? Согласитесь, что практически бессмысленно анализировать весь большой ряд цифр, показывающих затраченное посетителями магазина время, ведь нас интересуют, прежде всего, реальные практические выводы из нашего исследования. Одним из выводов, в частности, может быть обоснование установки дополнительных кассовых аппаратов, чтобы снизить время, на ожидание в очереди. Как нам узнать, нужны ли дополнительные кассы? Для этого мы можем распределить все полученные данные по следующим интервалам - например, "до 5 минут в очереди", "5-10 минут". "11-20 минут", "больше 20 минут" и получить, предположим такую таблицу.

С такой таблицей, где данные распределены по интервалам, гораздо проще работать. Сразу видно, что подавляющее большинство покупателей (683 из 891) проводит в очереди не больше 10 минут - мы просто сложили цифры из первого и второго столбца (226 и 457) и сравнили их с общим количеством покупателей (226+457+143+65), о которых у нас есть данные. Поскольку большинство покупателей, как мы видим, ждет в очереди не больше 10 минут, скорее всего, руководство магазина не будет нести дополнительные расходы и устанавливать новые кассовые аппараты. А если бы распределение данных по тем же интервалам было полностью противоположным, вот таким:

Видимо, в этом случае менеджерам стоит задуматься о том, что покупатели слишком много времени проводят в очереди, и постараться найти способы решения данной проблемы.

Построение таких рядов весьма часто используется в экономике и управлении - тарифные сетки, шкалы налогов, возрастные группы - это все примеры интервальных рядов распределения.

При построении интервальных рядов необходимо установить оптимальное количество интервалов, на которое разбиваются все единицы изучаемой совокупности. Количество интервалов зависит от объема изучаемой совокупности, степени разброса данных, задач исследования и других факторов. В приведенном выше примере мы разбили наши данные на такие интервалы просто исходя из "здравого смысла". В случаях, когда необходимо более точное и обоснованное разбиение на интервалы, для расчета необходимого количества равных интервалов применяют формулу Стерджесса:

n = 1 + 3,322 lg N

где n - количество групп, на которые разбивается вся совокупность,

N - число единиц совокупности.

Чтобы не высчитывать каждый раз логарифм, можно пользоваться следующей таблицей:

То есть, если количество единиц изучаемой совокупности находится в пределах от 15 до 24, можно ее разбивать на 5 групп (интервалов), от 25 до 44 - на 6 групп и т.д. Однако, не стоит применять данную формулу всегда и везде, в первую очередь разбиение на интервалы должно быть обосновано целями и задачами анализа Ваших данных.

Величину интервала (если необходимы равные интервалы) можно вычислять так:

1. посчитать разность между максимальным и минимальным значениями признака (если помните, эта разность называется размахом вариации);
2. полученное число разделить на количество интервалов - это и будет величиной интервала.

Например, если в нашу выборку попали покупатели от 16 лет (минимальное значение) до 70 лет (максимальное), то величину интервала можно легко посчитать:

1. из максимального значения вычитаем минимальное (70-16 = 54) и получаем размах вариации 54 (года);
2. определяем необходимое количество интервалов. Если весь объем выборки составил, предположим, 300 человек, то имеет смысл разделить их на 5 интервалов, а не на 9, как следует из формулы Стерджесса, так как при делении на 9 интервалов в каждом интервале при условии приблизительно равномерного распределения может оказаться всего около 30 человек, и сложно будет найти какие-то общие свойства такой группы или ее отличия от других. Как Вы, должно быть, помните, чем больше совокупность, тем меньше случайностей может оказать влияние на наши выводы о ней. Итак, исходя из задач анализа, мы определили, что интервалов будет 5;
3. делим 54 (размах вариации) на 5 (количество интервалов) и получаем величину интервала - округленно 11 (лет). Тогда наша таблица с интервалами будет выглядеть так (в скобках пояснения, как появилась данная цифра):

Пока мы с Вами говорили о рядах распределения, никак не связанных с изменением состояния исследуемого объекта во времени, а ведь изучение социально-экономических явлений в динамике - одна из наиболее важных задач статистики.

Поэтому перейдем к рассмотрению временных (динамических) рядов, их также называют рядами динамики, при помощи которых можно анализировать изменение различных показателей во времени.

Рассмотрим смысл и возможности применения этих показателей на примере изучения динамики посетителей магазина "Заводской".