УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭЭ СТАНКОВ

После возмущающего воздействия в системе регулирования некоторое время будет протекать переходной процесс. Исследования устойчивости процесса формирования может быть проведено на основании анализа уравнения системы регулирования, которое можно получить из уравнений отдельных звеньев САР путем исключения из них всех переменных кроме одной. Рассмотрим это на примере составления общего уравнения САР, состоящей из трех звеньев, соединенных последовательно.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. . (31)

Таким образом для трех звеньев можно составить шесть уравнений с шестью неизвестными. В (31) записаны общие виды уравнений.

Исключая из всех уравнений все неизвестные кроме получим линейное дифференциальное уравнение вида:

(32)

Общий интеграл линейного дифференциального уравнения будет равен:

(33)

где - корни характеристического уравнения:

Данное характеристическое уравнение получается из уравнения (32) путем подстановки частного решения

(34*)

Значения могут быть вещественными, чисто мнимыми или сопряжено комплексными. Рассмотрим случай наличия сопряжено комплексных корней:

(35)

Подставив значения корней в уравнение (33) получим

(36)

(37)

Характер изменения параметра из уравнения (37) может быть следующим:

1) при а=0 - незатухающие колебания;

2) при а>0 - возрастающие колебания;

3) при а<0 - затухающие колебания.

Если корни будут вещественными, то изменения будет происходить апериодически; при «+» корнях - значения будут возрастать с течением времени; при «-«корнях значение будет возвращаться к некоторой постоянной величине. Устойчивая работа системы регулирования возможна только в том случае, когда формулируемый параметр отделится к некотрому стабильному значению. В нашем случае при наличии вещественных корней система будет устойчива, если корни «-«, а при наличии комплексных корней они будут иметь «-«вещественную часть.

Нулевой корень - граница устойчивости системы. Граница колебательной устойчивости характеризуется наличием линейных корней.

ЛЕКЦИЯ №8

Из указанных условий устойчивости вытекают границы устойчивости:

- границе апериодической устойчивости соответствует наличию характеристического уравнения нулевого корня (к=0).

- границе колебательной устойчивости соответствует наличию у характеристического уравнения чисто мнимых корней.

Рассмотрим случай, когда уравнение системы

регулировок имеет второй порядок:

(38)

Запишем характеристическое уравнение:

(39)

Решение:

(40)

Условия устойчивости можно записать так:

и

Это возможно, если;

Если общее уравнение системы (38) имеет второй порядок, то для устойчивой системы необходимо, чтобы все коэффициенты были больше ноля.

Для уравнения начиная с третьего порядка и выше должно быть выполнено следующее условие:

1) коэффициент

2)

Для уравнения начиная с четвертой степени и выше кроме выполнения этих условий должно быть выполнено следующее условие

3)

В общем виде для САР имеющей уравнение n-го порядка критерий устойчивости может быть представлен в виде таблицы. Этот критерий называется критерием устойчивости Рауса-Гурвица.

Число строк в этой таблице равен числу столбцов и на единицу меньше степени характеристического уравнения.

Коэффициент с индексами большими, степень характеристического уравнения заменяют нулями. Для второй степени матрицу использовать не имеет смысла.

Недостатком алгебраического критерия Рауса-Гурвица есть громоздкость вычислений, которая резко возрастает с увеличением степени характеристического уравнения. Кроме того этот критерий позволяет судить только о том, будет ли данная САР устойчива или нет, но не дает ответа на вопрос о запасе устойчивости системы. Определить границы устойчивой работы системы управления возможно при помощи геометрического критерия устойчивости А.В. Михайлова (критерия устойчивости Михайлова), который основан на исследовании расположения годографа характеристического уравнения САР в комплексной плоскости.

Годограф - геометрическое место точек, которое описывает положение конца вектора при его изменении. Левая часть характеристического уравнения САР (ЗЧ) путем постановки может быть представлена в следующем виде:

(41)

ЛЕКЦИЯ №8

Получили уравнение (41) - функция комплексного переменного, которая может быть представлена графически. При изменении вектор описывает на комплексной плоскости своим концом кривую, которая называется характеристической кривой или годографом вектора .

Определив в уравнении (41) действительную и мнимую части получим:

(42)

где

Действительная часть - четная функция; мнимая часть - нечетная функция. Следовательно

Из этого следует, что характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси и , поэтому максимально ограничиться построением характеристической кривой только для «+» . Критерий Михайлова формируется так: система устойчива, если при изменении от 0 до вектор повернется на угол n. или если характеристическая кривая с применением от 0 до . Обходит последовательно в «+» направлении n квадрантов, где n- степень характеристического уравнения.

Для характеристического уравнения степени n=1 для устойчивой работы САР необходимо, чтобы годограф вектора представлял кривую, расположенную в первом квадранте. Для уравнения второй степени и выше годографы устойчивых САР охватывают число квадрантов равное степени характеристического уравнения. На рис.2. представлен годограф неустойчивой САР. Здесь при степени характеристического уравнения n=4 годограф охватывает только три квадранта

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: