ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Барометрическая формула.Распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле Газ, на который не действует внешнее силовое поле, равномерно заполняет объем, в котором он находится, благодаря хаотичности теплового движения молекул. Если на молекулы газа действуют внешние силы, то концентрация газа не будет одинаковой во всех точках объема. Рассмотрим в качестве примера атмосферный газ, находящийся в поле земного тяготения. Если бы отсутствовало тепловое движение, то все молекулы атмосферы опустились бы на поверхность Земли под действием сил тяжести и земная атмосфера не могла бы существовать. Однако этому препятствует хаотическое движение молекул, которое способствует обратному процессу — стремлению атмосферного газа рассеяться и заполнить равномерно всю Вселенную. Следовательно, атмосфера Земли может существовать за счет этих двух факторов в некотором равновесном состоянии, при котором ее плотность, концентрация молекул и давление будут зависеть от пространственных координат. Найдем закон изменения этих величин в зависимости от высоты над поверхностью Земли. Будем считать, что газ находится в состоянии термодинамического равновесия и его температура всюду одинакова. Выделим некоторый столб газа, имеющий форму цилиндра, площадью поперечного сечения s, и направим ось z вдоль столба по направлению от поверхности Земли. Установим начало отсчета координаты z на поверхности Земли (рис. 19.3). Выделим на высоте z элементарный слой столба газа толщиной dz и воспользуемся тем, что этот слой, как и весь столб, находится в состоянии механического равновесия. Это значит, что равнодействующая всех сил, действующих на слой, равна нулю. Из рис. 19.3 видно, что равнодействующая складывается из трех сил: две силы давления F H и F B, действующие на нижнее и верхнее основание слоя, и сила тяжести dP самого слоя. Обозначим давление газа в точках нижнего основания p, а в точках верхнего основания р+ dp. Тогда F H = pS; F B = (p + dp)S; dP = ρ gSdz, где ρ — плотность слоя воздуха. С учетом направления сил условие равновесия слоя запишется в виде F B + dP = F H(18.28) или (р + dp) S + ρ gSdz = pS. (18.29) Раскрыв в (18.29) скобки, получим дифференциальное уравнение dp = — ρ gdz. (18.30) Из уравнения Клапейрона — Менделеева следует, что плотность газа связана с давлением формулой , (18.31) где та — масса молекулы газа. Используя (18.31), преобразуем дифференциальное уравнение (18.30) к виду . (18.32) Интегрируя это уравнение по высоте от 0 до z, получаем , (18.33) где ln p0 — постоянная интегрирования. Потенциируя (18.33), имеем . (18.34) Из (18.34) видно, что р0 имеет смысл давления атмосферы на поверхности Земли, где z = 0. Полученное уравнение определяет зависимость давления атмосферы вблизи Земли от высоты над уровнем моря. Как и следовало ожидать, при увеличении высоты давление уменьшается. В соответствии с формулой (18.34), которая называется барометрической, это уменьшение подчиняется экспоненциальному закону. Измеряя давление по барометру, проградуированному в соответствии с барометрической формулой, можно определить высоту объекта над поверхностью Земли. Такой прибор называется альтиметром и широко применяется в авиации. Используя барометрическую формулу, легко установить закон распределения концентрации молекул по высоте h над поверхностью Земли. С этой целью воспользуемся уравнением состояния идеального газа p= nkT. В этой формуле давление р и концентрация молекул п зависят от высоты, в то время как температура Т постоянная в соответствии с предположением, что газ находится в состоянии термодинамического равновесия. Из уравнения состояния и барометрической формулы для концентрации п на высоте h вытекает: , (18.35) где n0 — концентрация молекул воздуха при h = 0. Обратив внимание на то, что в показатель экспоненты в правой части (18.35) входит потенциальная энергия молекулы в поле силы тяжести WПОТ = magh, перепишем (18.35) в виде . (18.36) Оказывается, что выражение (18.36) для распределения молекул имеет общий характер и справедливо для частиц, находящихся во внешнем потенциальном поле любого вида. Это распределение называется распределением Больцмана. В распределении Больцмана (18.36) под n0 следует понимать концентрацию молекул в точке поля, где их потенциальная энергия равна нулю, WПОТ = 0, а п представляет собой концентрацию молекул в точке, где их потенциальная энергия равна WПОТ. Как известно, плотность газа ρ прямо пропорциональна концентрации молекул п. Поэтому, используя (18.35), нетрудно показать, что распределение плотности воздуха в атмосфере Земли будет описываться выражением: , (18.37) где М — молярная масса газа. Из (18.34), (18.35) и (18.37) следует, что в атмосфере Земли р, п и ρ воздуха уменьшаются единообразно с увеличением высоты. Учитывая, что концентрация п по определению равна , где dN — число молекул в элементарном объеме dV, можно представить распределение Больцмана в форме . Здесь под dN следует понимать число молекул, находящихся в элементарном объеме dV = dxdydz с координатами х, у, z и обладающих произвольными скоростями. Учтем теперь, что молекулы газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, распределены по скоростям в соответствии с (18.21) (распределение Максвелла). Это значит, что для того, чтобы определить число молекул dN газа в объеме dV со скоростями, попадающими в интервал dυ x, dυy, dυz, следует учесть оба распределения. Мы приходим к формуле, которая называется распределением Максвелла — Больцмана: . Следует отметить, что распределение Максвелла — Больцмана и сама его формулировка имеют смысл только в том случае, когда движение молекул подчиняется законам классической физики. Если движение частиц носит квантовый характер, то имеют место другие распределения, о которых пойдет речь ниже. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|