ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Средняя длина свободного пробега молекул газа.Лекция 19. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА. СТОЛКНОВЕНИЯ МОЛЕКУЛ. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА: ДИФФУЗИЯ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ (ВЯЗКОСТЬ). УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА
Средняя длина свободного пробега молекул газа. Столкновения молекул
Беспорядочность движения молекул газа, соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц, изменению их скоростей и энергий. Это позволяет объяснить целый ряд явлений, в частности так называемые явления переноса, которые могут протекать в газах и не только в газах. Поэтому остановимся подробнее на столкновениях молекул газа и познакомимся с понятием средней длины свободного пробега молекулы. Расстояние, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега. Естественно, что эти расстояния у различных молекул в разные моменты времени могут быть различны. В этой связи удобно ввести понятие средней длины свободного пробега — среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями. Обозначим эту величину λ. Для вычисления λ, будем считать молекулы газа твердыми шариками определенного диаметра d. Как уже отмечалось ранее, d равно минимальному расстоянию, на которое могут сблизиться при столкновении центры двух молекул (рис. 20.1). Величина σ = π d 2 называется площадью сечения столкновения молекул. Площадь этого сечения изображена на рис. 20.2 в виде заштрихованного диска с дентром в точке 0, где находится одна из молекул, условно принятая за неподвижную. Проводя параллельно оси 0'0' заштрихованного диска прямые линии, являющиеся продолжением траекторий движения центра любой налетающей молекулы, можно найти расстояния r 01, r 02, r 03 (рис. 20.2). Величины r 01, r 02, r 03 называются прицельными расстояниями. Очевидно, что столкновение будет иметь место при условии r 0 ≥ d. Реальные молекулы не являются твердыми шариками, тем не менее и в этом случае можно говорить о диаметре D = 2d и площади сечения столкновения σ, которые можно называть соответственно эффективным диаметром и площадью эффективного сечения столкновения молекул. Подсчитаем среднее число столкновений, которое испытывает молекула газа за малый промежуток времени dt при тепловом движении. Будем считать, что движется только выделенная молекула, а остальные неподвижны. Очевидно, что траектория движения рассматриваемой молекулы является Ломаной линией. Прямые отрезки этой линии соответствуют прямолинейному движению молекулы между двумя последовательными столкновениями. Ударившись об одну из неподвижных молекул, молекула изменяет направление движения и движется прямолинейно до следующего столкновения, после чего направление ее движения изменяется вновь и так далее. Пусть траектория такого движения за время dt имеет вид ломаной линии, показанной на рис. 20.3. Для того чтобы определить число столкновений, выпрямим траекторию. Представим себе цилиндрическую поверхность, осевой линией (О'О') которой является рассматриваемая выпрямленная траектория. Эта поверхность показана на рис. 20.3. Основанием цилиндра является поперечное сечение столкновения площадью σ = π d 2, а высота равна длине отрезкаа dl траектории. Очевидно, что число столкновений dN,которое летящая молекула испытает за время dt, равно числу неподвижных молекул, центры которых находятся в указанном цилиндре объемом dV= σ dl. Это число равно dN=ndV=nπd2dl, (19.1) где п — концентрация молекул. Учитывая, что dl = υdt, найдем среднее число столкновений Z в единицу времени: , (19.2) где υ — скорость молекулы. Теперь можно вычислить среднюю длину свободного пробега λ. Очевидно, что эта величина получится, если разделить длину отрезка траектории dl на среднее число столкновений dN на этом отрезке: . (19.3) Формулу (19.3) следует уточнить с учетом того, что молекулы, принятые за неподвижные, на самом, деле движутся, а также с учетом того, что траектория имеет изломы. Более строгий анализ показывает, что длина свободного пробега равна . (19.4) Эта формула имеет простой физический смысл. Средняя длина свободного пробега тем больше, чем меньше концентрация молекул и чем меньше эффективные размеры d молекулы. При очень малых концентрациях молекул и давлении газа эта формула неприменима. При некотором давлении р в, когда концентрация молекул настолько мала, что они могут перемещаться в сосуде не сталкиваясь друг с другом, длина свободного пробега равна тому расстоянию, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями со стенками сосуда. В этом случае величина λ, должна быть порядка линейных размеров сосуда. Такое состояние газа называется вакуумом. Пользуясь формулой (19.4) и уравнением p=nkT, легко определить зависимость средней длины свободного пробега от давления и температуры при p > р в: . (19.5) Таким образом, при постоянной температуре длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению. Этот результат справедлив лишь при давлениях р > р в. Если это условие не выполняется, т. е. в сосуде имеет место вакуум, то длина свободного пробега от давления не зависит. Из (19.5) также вытекает, что при постоянном давлении длина свободного пробега пропорциональна абсолютной температуре.
2. Явления переноса: диффузия, теплопроводность, внутреннее трение (вязкость). Уравнения переноса. Коэффициенты переноса
Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скоростей упорядоченного перемещения отдельных слоев, то беспрерывное неупорядоченное движение молекул, их столкновения друг с другом приводят к выравниванию неоднородностей. При этом происходят процессы, получившие название явлений переноса. К ним относятся: диффузия, теплопроводность, внутреннее трение или вязкость. Диффузия возникает при наличии неодинаковой концентрации молекул газа в различных частях объема газа. В химически чистых газах при диффузии происходит перенос массы газа из мест с большей плотностью в область, где плотность газа меньше. В результате плотность выравниваемся во всем объеме. Как показывает опыт, если плотность газа ρ неодинакова вдоль некоторого направления x, т. е. ρ = ρ(x), то при диффузии за время dt через элементарную поверхность dS, перпендикулярную оси х, в направлении убывания плотности переносится масса газа dm, равная , (19.6) где модуль градиента плотности вдоль оси х; D — коэффициент диффузии. Формула (19.6) выражает закон Фика. Знак минус в (19.6) указывает на то, что перенос массы dm происходит в направлении, противоположном градиенту плотности. Градиент плотности направлен в сторону возрастания ρ, масса газа переносится в направлении убывания плотности. Теплопроводность — направленный перенос внутренней энергии газа в форме теплоты из области с большей температурой в область с меньшей температурой. В результате теплопроводности происходит выравнивание температуры по всему объему газа. Как было установлено Фурье, количество теплоты dQ, которое переносится в процессе теплопроводности за время dt через поверхность площади dS, перпендикулярную оси х, в направлении убывания температуры Т газа, равно , (19.7) где - модуль градиента температуры газа вдоль оси х,т. е. изменение температуры на единице длины вдоль оси х; χ— коэффициент теплопроводности. Знак минус в законе Фурье (19.7) означает, что перенос тепла происходит в направлении, противоположном градиенту температуры. Третье явление переноса — внутреннее трение или вязкость. Рассмотрим два соприкасающихся слоя газа (рис. 20.4), которые движутся параллельно друг другу в одном направлении со скоростями и и u+du. Молекулы газа в этом случае участвуют одновременно в двух движениях: хаотическом (тепловом) и упорядоченном. Двигаясь хаотически, молекулы переходят из одного слоя в другой и тем самым осуществляют перенос импульса упорядоченного движения молекул из слоя в слой. Ньютон показал, что за время dt через площадь контакта слоев dS переносится импульс dK (рис. 20.4), равный: , (19.8) где η — коэффициент внутреннего трения или динамическая вязкость газа; - модуль градиента скорости упорядоченного движения слоев газа в направлении, перпендикулярном площади dS контакта слоев. Знак минус указывает на то, что импульс переносится из слоя, движущегося с большей скоростью, в слой, движущийся с меньшей скоростью, т. е. в направлении, противоположном градиенту скорости упорядоченного движения. Перенос импульса из быстро движущегося слоя в медленно движущийся слои приводит к замедлению движения быстрого слоя и ускорению медленного. Возникает сила взаимодействия между слоями — сила внутреннего трения. По второму закону Ньютона из формулы (19.8) эта сила будет иметь вид .(19.9) Уравнения (19.6), (19.7) и (19.8), описывающие соответственно диффузию, теплопроводность, внутреннее трение, называются уравнениями переноса, а коэффициенты D, χ и η в этих уравнениях — коэффициентами переноса. Уравнениям переноса можно придать более компактный вид, если ввести в рассмотрение плотность потока массы , плотность потока тепла и плотность потока импульса . В этом случае уравнения диффузии (19.6), теплопроводности (19.7) и внутреннего трения (19.8) представляются соответственно как: ; (19.10) ; (20.11) и . (20.12) Рассмотрение беспрерывного, хаотического движения молекул газа позволяет не только объяснить качественно явления переноса, но и получить количественные соотношения. Покажем это на примере диффузии. Пусть имеется химически однородный газ, состоящий из молекул с массой mа. Предположим, что в пространстве, где находится газ, имеется неоднородность плотности газа ρ только вдоль оси х, т. е. ρ = ρ(x) и, следовательно, концентрация молекул n0 = п0(х) также есть функция переменной х. Расположим элементарную площадку площадью dS перпендикулярно оси х в точке с координатой x = x0. По обе стороны от площадки dS рассмотрим два слоя газа 1 и 2, отстоящие от нее на расстоянии, равном средней длине λсвободного пробега молекул (рис. 20.5).Тогда координаты 1-го и 2-го слоев газа будут соответственно x1 = x0 - λи x2 = x0 + λ и концентрации молекул в них п01 и п02. Так как движение молекул газа происходит хаотично, со средней скоростью υ, то можно считать, что 1/3 молекул движется вдоль оси x, 1/3 вдоль y и 1/3 вдоль z. Из 1/3 молекул, движущихся вдоль оси х, 1/2 движется слева направо, т. е. 1/6 всех молекул, и такое же число справа налево. Таким образом, из 1-го слоя газа в направлении 2-го слоя будет двигаться l/6 п01 молекул, из 2-го слоя в направлении 1-го слоя 1/6 п02 молекул, содержащихся в единице объема. Вследствие этого за время dt через площадь dS в направлении слева направо пройдет молекул, в обратном направлении — . Предположим, что п01 > п02, тогда N1 > N2 и, следовательно, через площадку dS за время dt в направлении от 1-го слоя ко 2-му будет переносится больше молекул, чем в обратном направлении на величину . (19.13) Умножая левую и правую часть (19.13) на массу одной молекулы m0, получим ,(20.14) где dm — масса газа, перенесенная в результате диффузии из слоя с плотностью ρ1 в слой с плотностью ρ2. Обозначив расстояние между слоями 1 и 2 газа 2λ = dx разность плотностей газа в слоях d ρ = ρ1— ρ2, уравнение (19.14) преобразуем к виду . (19.15) Выражение (19.15), если обозначить через , с точностью до знака совпадает с законом Фика (19.6). Таким образом, опираясь на молекулярно-кинетические представления, получено уравнение диффузии и значение коэффициента диффузии: (19.16) Аналогичным образом можно вывести закон Ньютона (19.8) и закон Фурье (19.7), получив следующие выражения коэффициента внутреннего трения η и теплопроводности χ: ; (19.17) , (19.18) где c υ — удельная теплоемкость газа в изохорическом процессе. Из (19.16), (19.17), (19.18) получим единицы измерения коэффициента диффузии D - 1 м2/с, коэффициента вязкости η -1 Па∙с, коэффициента теплопроводности χ - 1 Вт/м∙с. Из этих же формул (19.16), (19.17), (19.18) вытекает, что коэффициенты переноса связаны друг с другом простыми соотношениями и или и . (19.19) Т. е. коэффициенты переноса пропорциональны друг другу. Более строгая теория приводит к физически аналогичному результату, который отличается от нашего тем, что в правые части формул (19.19) входят коэффициенты меньше единицы: ; . (19.20) Рассмотрим, как зависит от давления и температуры коэффициент диффузии. При давлениях, превышающих граничное давление р в, можно воспользоваться формулой (19.5). Подставляя (19.5) и (18.26) в (19.16), получим: . (19.21) Следовательно, в рамках простой модели коэффициент диффузии газа при р>рв обратно пропорционален давлению и пропорционален абсолютной температуре в степени 3/2. При р<рв длина свободного пробега так же, как и скорость, не зависит от давления молекул, поэтому с учетом (19.16) приходим к выводу, что если состояние газа соответствует, вакууму, то коэффициент диффузии не зависит от давления и пропорционален температуре в степени 3/2. Проводя аналогичный анализ, можно показать, что коэффициенты теплопроводности и коэффициент вязкости газа в области р<рв прямо пропорциональны давлению и обратно пропорциональны температуре в степени 1/2. В области р>рв коэффициент теплопроводности и вязкости не зависят от давления и прямо пропорциональны температуре встепени 1/2. Графики зависимости коэффициентов D, χ и η от давления представлены на рис. 20.6. В заключение отметим, что явление диффузии, теплопроводности и внутреннего трения присущи также жидкостям. В твердых телах наблюдается диффузия и теплопроводность.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|