Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Средняя длина свободного пробега молекул газа.

Лекция 19. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА

МОЛЕКУЛ ГАЗА. СТОЛКНОВЕНИЯ МОЛЕКУЛ. ЯВЛЕНИЯ

ПЕРЕНОСА: ДИФФУЗИЯ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ВНУТРЕННЕЕ

ТРЕНИЕ (ВЯЗКОСТЬ). УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА

 

Средняя длина свободного пробега молекул газа.

Столкновения молекул

 

Беспорядочность движения молекул газа, соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц, изменению их скоростей и энергий. Это позволяет объяснить целый ряд явлений, в частности так называемые явления пе­реноса, которые могут протекать в газах и не только в газах. Поэтому остановимся подробнее на столкновениях молекул газа и познакомимся с понятием средней длины свободного пробега молекулы.

Расстояние, которое пролетает молекула между двумя по­следовательными столкновениями, называется длиной свобод­ного пробега. Естественно, что эти расстояния у различных молекул в разные моменты времени могут быть различны. В этой связи удобно ввести понятие средней длины свобод­ного пробега — среднее расстояние, которое молекула прохо­дит между двумя последовательными соударениями. Обозна­чим эту величину λ. Для вычисления λ, будем считать моле­кулы газа твердыми шариками определенного диаметра d. Как уже отмечалось ранее, d равно минимальному расстоя­нию, на которое могут сблизиться при столкновении центры двух молекул (рис. 20.1). Величина σ = π d 2 называется пло­щадью сечения столкновения молекул. Площадь этого сечения изображена на рис. 20.2 в виде заштрихованного диска с дентром в точке 0, где находится одна из молекул, условно принятая за неподвижную.

Проводя параллельно оси 0'0' заштрихованного диска прямые линии, являющиеся продолжением траекторий дви­жения центра любой налетающей молекулы, можно найти расстояния r 01, r 02, r 03 (рис. 20.2). Величины r 01, r 02, r 03 называются прицельными расстояниями. Очевидно, что столк­новение будет иметь место при условии r 0 ≥ d. Реальные молекулы не являются твердыми шариками, тем не менее и в этом случае можно говорить о диаметре D = 2d и площади сечения столкновения σ, которые можно называть соответст­венно эффективным диаметром и площадью эффективного сечения столкновения молекул.

Подсчитаем среднее число столкновений, которое испы­тывает молекула газа за малый промежуток времени dt при тепловом движении. Будем считать, что движется только вы­деленная молекула, а остальные неподвижны. Очевидно, что траектория движения рассматриваемой молекулы является Ломаной линией. Прямые отрезки этой линии соответствуют прямолинейному движению молекулы между двумя последовательными столкновениями. Ударившись об одну из не­подвижных молекул, молекула изменяет направление движе­ния и движется прямолинейно до следующего столкновения, после чего направление ее движения изменяется вновь и так далее. Пусть траектория такого движения за время dt имеет вид ломаной линии, показанной на рис. 20.3.

Для того чтобы определить число столкновений, выпря­мим траекторию. Представим себе цилиндрическую поверх­ность, осевой линией (О'О') которой является рассматривае­мая выпрямленная траектория. Эта поверхность показана на рис. 20.3. Основанием цилиндра является поперечное сечение столкновения площадью σ = π d 2, а высота равна длине отрезкаа dl траектории. Очевидно, что число столкновений dN,которое летящая молекула испытает за время dt, равно числу неподвижных молекул, центры которых находятся в ука­занном цилиндре объемом dV= σ dl. Это число равно

dN=ndV=nπd2dl, (19.1)

где п — концентрация молекул.

Учитывая, что dl = υdt, найдем среднее число столкнове­ний Z в единицу времени:

, (19.2)

где υ — скорость молекулы.

Теперь можно вычислить среднюю длину свободного про­бега λ. Очевидно, что эта величина получится, если разде­лить длину отрезка траектории dl на среднее число столкно­вений dN на этом отрезке:

. (19.3)

Формулу (19.3) следует уточнить с учетом того, что мо­лекулы, принятые за неподвижные, на самом, деле движутся, а также с учетом того, что траектория имеет изломы. Более строгий анализ показывает, что длина свободного пробега равна

. (19.4)

Эта формула имеет простой физический смысл. Средняя длина свободного пробега тем больше, чем меньше концен­трация молекул и чем меньше эффективные размеры d мо­лекулы. При очень малых концентрациях молекул и давле­нии газа эта формула неприменима. При некотором давлении р в, когда концентрация молекул настолько мала, что они могут перемещаться в сосуде не сталкиваясь друг с другом, длина свободного пробега равна тому расстоянию, которое пролетает молекула между двумя последовательными столк­новениями со стенками сосуда. В этом случае величина λ, должна быть порядка линейных размеров сосуда. Такое со­стояние газа называется вакуумом. Пользуясь формулой (19.4) и уравнением p=nkT, легко определить зависимость средней длины свободного пробега от давления и темпера­туры при p > р в:

. (19.5)

Таким образом, при постоянной температуре длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению. Этот результат справедлив лишь при давлениях р > р в. Если это условие не выполняется, т. е. в сосуде имеет место вакуум, то длина свободного пробега от давления не зависит. Из (19.5) также вытекает, что при постоянном давлении длина свобод­ного пробега пропорциональна абсолютной температуре.

 

2. Явления переноса: диффузия, теплопроводность,

внутреннее трение (вязкость). Уравнения переноса.

Коэффициенты переноса

 

Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скоростей упорядоченного пере­мещения отдельных слоев, то беспрерывное неупорядоченное движение молекул, их столкновения друг с другом приводят к выравниванию неоднородностей. При этом происходят процессы, получившие название явлений переноса. К ним отно­сятся: диффузия, теплопроводность, внутреннее трение или вязкость.

Диффузия возникает при наличии неодинаковой концен­трации молекул газа в различных частях объема газа. В хи­мически чистых газах при диффузии происходит перенос массы газа из мест с большей плотностью в область, где плотность газа меньше. В результате плотность выравнива­емся во всем объеме.

Как показывает опыт, если плотность газа ρ неодинакова вдоль некоторого направления x, т. е. ρ = ρ(x), то при диффузии за время dt через элементарную поверхность dS, перпендикулярную оси х, в направлении убывания плотности переносится масса газа dm, равная

, (19.6)

где модуль градиента плотности вдоль оси х; D — коэффициент диффузии.

Формула (19.6) выражает закон Фика. Знак минус в (19.6) указывает на то, что перенос массы dm происходит в направлении, противоположном градиенту плотности. Градиент плотности направлен в сторону возрастания ρ, масса газа переносится в направлении убывания плотности.

Теплопроводность — направленный перенос внутренней энергии газа в форме теплоты из области с большей температурой в область с меньшей температурой. В результате теплопроводности происходит выравнивание температуры по всему объему газа. Как было установлено Фурье, количество теплоты dQ, которое переносится в процессе теплопроводно­сти за время dt через поверхность площади dS, перпендикулярную оси х, в направлении убывания температуры Т газа, равно

, (19.7)

где - модуль градиента температуры газа вдоль оси х,т. е. изменение температуры на единице длины вдоль оси х; χ— коэффициент теплопроводности.

Знак минус в законе Фурье (19.7) означает, что перенос тепла происходит в направлении, противоположном гради­енту температуры.

Третье явление переноса — внутреннее трение или вяз­кость. Рассмотрим два соприкасающихся слоя газа (рис. 20.4), которые движутся парал­лельно друг другу в од­ном направлении со ско­ростями и и u+du. Мо­лекулы газа в этом слу­чае участвуют одновре­менно в двух движениях: хаотическом (тепловом) и упорядоченном.

Двигаясь хаотически, молекулы переходят из одного слоя в другой и тем самым осуществляют перенос импульса упорядоченного движения молекул из слоя в слой. Ньютон показал, что за время dt через площадь контакта слоев dS переносится им­пульс dK (рис. 20.4), равный:

, (19.8)

где η — коэффициент внутреннего трения или динамическая вязкость газа; - модуль градиента скорости упорядоченного движения слоев газа в направлении, перпендикулярном площади dS контакта слоев.

Знак минус указывает на то, что импульс переносится из слоя, движущегося с большей скоростью, в слой, движущийся с меньшей скоростью, т. е. в направлении, противоположном градиенту скорости упорядоченного движения. Перенос им­пульса из быстро движущегося слоя в медленно движущийся слои приводит к замедлению движения быстрого слоя и уско­рению медленного. Возникает сила взаимодействия между слоями — сила внутреннего трения. По второму закону Нью­тона из формулы (19.8) эта сила будет иметь вид

.(19.9)

Уравнения (19.6), (19.7) и (19.8), описывающие соответственно диффузию, теплопроводность, внутреннее трение, называются уравнениями переноса, а коэффициенты D, χ и η в этих уравнениях — коэффициентами переноса.

Уравнениям переноса можно придать более компактный вид, если ввести в рассмотрение плотность потока массы , плотность потока тепла и плотность потока импульса . В этом случае уравнения диффузии (19.6), теплопроводности (19.7) и внутреннего трения (19.8) представляются соответственно как:

; (19.10) ; (20.11) и . (20.12)

Рассмотрение беспрерывного, хаотического движения мо­лекул газа позволяет не только объяснить качественно явле­ния переноса, но и получить количественные соотношения. Покажем это на примере диффузии.

Пусть имеется химически однородный газ, состоящий из молекул с массой mа. Предположим, что в пространстве, где находится газ, имеется неоднородность плотности газа ρ только вдоль оси х, т. е. ρ = ρ(x) и, следовательно, концентрация молекул n0 = п0(х) также есть функция перемен­ной х.

Расположим элементарную площадку площадью dS перпендикулярно оси х в точке с координатой x = x0. По обе стороны от площадки dS рассмотрим два слоя газа 1 и 2, отстоя­щие от нее на расстоянии, равном средней длине λсвободного пробега молекул (рис. 20.5).Тогда координаты 1-го и 2-го слоев газа будут соответственно x1 = x0 - λи x2 = x0 + λ и концен­трации молекул в них п01 и п02.

Так как движение молекул газа происходит хаотично, со средней скоростью υ, то можно считать, что 1/3 молекул дви­жется вдоль оси x, 1/3 вдоль y и 1/3 вдоль z. Из 1/3 молекул, движущихся вдоль оси х, 1/2 движется слева направо, т. е. 1/6 всех молекул, и такое же число справа налево. Таким образом, из 1-го слоя газа в направлении 2-го слоя будет двигаться l/6 п01 молекул, из 2-го слоя в направлении 1-го слоя 1/6 п02 молекул, содержащихся в единице объема. Вслед­ствие этого за время dt через площадь dS в направлении слева направо пройдет молекул, в обрат­ном направлении — .

Предположим, что п01 > п02, тогда N1 > N2 и, следователь­но, через площадку dS за время dt в направлении от 1-го слоя ко 2-му будет переносится больше молекул, чем в об­ратном направлении на величину

. (19.13)

Умножая левую и правую часть (19.13) на массу одной молекулы m0, получим

,(20.14)

где dm — масса газа, перенесенная в результате диффузии из слоя с плотностью ρ1 в слой с плотностью ρ2.

Обозначив расстояние между слоями 1 и 2 газа 2λ = dx разность плотностей газа в слоях d ρ = ρ1— ρ2, уравнение (19.14) преобразуем к виду

. (19.15)

Выражение (19.15), если обозначить через , с точностью до знака совпадает с законом Фика (19.6). Таким образом, опираясь на молекулярно-кинетические представления, получено уравнение диффузии и значение коэффи­циента диффузии:

(19.16)

Аналогичным образом можно вывести закон Ньютона (19.8) и закон Фурье (19.7), получив следующие выражения коэффициента внутреннего трения η и теплопроводно­сти χ:

; (19.17)

, (19.18)

где c υ — удельная теплоемкость газа в изохорическом про­цессе.

Из (19.16), (19.17), (19.18) получим единицы измерения коэффициента диффузии D - 1 м2/с, коэффициента вязкости η -1 Па∙с, коэффициента теплопроводности χ - 1 Вт/м∙с.

Из этих же формул (19.16), (19.17), (19.18) вытекает, что коэффициенты переноса связаны друг с другом простыми со­отношениями

и

или

и . (19.19)

Т. е. коэффициенты переноса пропорциональны друг другу. Более строгая теория приводит к физически аналогичному результату, который отличается от нашего тем, что в правые части формул (19.19) входят коэффициенты меньше еди­ницы:

; . (19.20)

Рассмотрим, как зависит от давления и температуры ко­эффициент диффузии. При давлениях, превышающих гранич­ное давление р в, можно воспользоваться формулой (19.5). Подставляя (19.5) и (18.26) в (19.16), получим:

. (19.21)

Следовательно, в рамках простой модели коэффициент диффузии газа при р>рв обратно пропорционален давлению и пропорционален абсолютной температуре в степени 3/2.

При р<рв длина свободного пробега так же, как и ско­рость, не зависит от давления молекул, поэтому с учетом (19.16) приходим к выводу, что если состояние газа соответствует, вакууму, то коэффициент диффузии не зависит от давления и пропорционален температуре в степени 3/2.

Проводя аналогичный анализ, можно показать, что коэф­фициенты теплопроводности и коэффициент вязкости газа в области р<рв прямо про­порциональны давлению и обратно пропорцио­нальны температуре в степени 1/2. В области р>рв коэффициент теп­лопроводности и вязко­сти не зависят от давле­ния и прямо пропорцио­нальны температуре встепени 1/2.

Графики зависимости коэффициентов D, χ и η от давле­ния представлены на рис. 20.6. В заключение отметим, что явление диффузии, теплопроводности и внутреннего трения присущи также жидкостям. В твердых телах наблюдается диффузия и теплопроводность.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Барометрическая формула. | Пищевые продукты — основа инноваций.


Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных