Задача 3.6. Определение показателей связи при парной криволинейной корреляции

Условие. В таблице 3.16 приведены данные о продуктивности и продолжительности откорма молодняка крупного рогатого скота на животноводческом комплексе.

Решить уравнение и определить показатели тесноты связи продуктивности скота с продолжительностью его откорма.

Решение.

1. Исходные данные запишем в макет таблицы 3.16.

2. Чтобы установить форму связи между признаками, построим график (рис.5.2). Для этого на корреляционном поле нанесем фактические значения зависимой переменной (х₀ - среднесуточный прирост живой массы одной головы, г) при соответствующих значениях независимой переменной (х ₁ - продолжительность откорма, дней).

Таблица -3.16. Данные для определения показателей корреляционной связи

Рис.5.2. Зависимость продуктивности молодняка крупного рогатого скота от продолжительности откорма.

Расположение точек на корреляционном поле дает возможность сделать вывод о том, что связь между переменными по форме криволинейна и может быть выражена уравнением параболы второго порядка:

х₀= а₀+а₁х₁+а₂х₁², где а₀,, а₁ и а₂ - неизвестные параметры уравнения.

3.Составим систему нормальных уравнений, необходимых для исчисления неизвестных параметров а₀, а₁ и а₂:

4. Рассчитаем величины

которые нужны для решения системы нормальных уравнений и определения показателей тесноты связи (табл. 3.16).

5. Из таблицы 3.16 подставим в систему нормальных уравнений соответствующие конкретные величины:

27291=27 а ₀+2746 а ₁+284518 а ₂

2772642=2746 а ₀+284518 а ₁+30005518 а ₂

286861200=284518 а ₀+30005518 а ₁+3217022158 а ₂

6. Решим систему уравнений и определим неизвестные параметры, для чего:

а) разделим все уравнения на коэффициент при а ₀ (первое уравнение на 27, второе - на 2746, третье - на 284518):

1010,7778= а ₀+101,7037 а ₁+10537,7037 а ₂

1009,7021= а ₀+103,6118 а ₁+10926,9913 а ₂

1008,2360= а ₀+105,4609 а ₁+11306,9200 а ₂;

б) вычтем из первого уравнения второе, а из второго - третье:

1,0757= -1,9081 а ₁ - 389,2876 а ₂

1,4661= -1,8491 а ₁ - 379,9287 а ₂;

в) разделим оба уравнения на коэффициенты при а ₁:

- 0,5638= а ₁ + 204,0184 а ₂

- 0,7929= а ₁ + 205,4668 а ₂;

г) вычтем из первого уравнения второе 0,2291= - 1,4484 а ₂ и определим параметр а ₂

а ₂ = 0,2291: (- 1,4484) = - 0,1582;

д) подставим значение параметра а ₂ в одно из уравнений

- 0,5638 = а ₁ + 204,0184 х (- 0,1582) и вычислим параметр а ₁:

а ₁ = - 204,0184 х (- 0,1582) - 0,5638 = 31,7119;

е) подставим значения параметров а ₁ и а ₂ в одно из уравнений:

1010,7778 = а ₀ + 101,7037 х 31,7119 + 10537,7037 х (- 0,1582), откуда а ₀ = - 547,3751.

7. Подставим найденные значения параметров в уравнение связи:

8. Исчислим общую и остаточную дисперсии, характеризующие колеблемость продуктивности:

²_общ=

²_ост =

=

= 379,80

9.Рассчитаем индекс корреляции по формуле:

i = =

10. Сделаем вывод. На основании уравнения криволинейной связи нельзя однозначно сказать, на сколько единиц изменится зависимая переменная при изменении независимой на единицу. Так, при увеличении числа дней откорма с 79 до 80 средесуточный прирост одной головы в среднем возрастает на 6,2 г.

При х ₁=79 = - 547,3751+31,7119 х 79 - 0,1582 х 79² = 959,2г;

При х ₁=80 = - 547,3751+31,7119 х 80 - 0,1582 х 80² = 965,4г.

Однако, при увеличении числа дней откорма со 119 до 200 среднесуточный прирост снижается на 6,6 г (при х ₁=119 г; при х ₁= 200 = 953,8 г).

Индекс корреляции i = 0,773 указывает на наличие тесной связи между переменными. Судя по коэффициенту детерминации (i ² = 0,5976) 59,8% вариации среднесуточного прироста обусловлено вариацией продолжительности периода откорма.

Задача 3.7. Проверка гипотез и статистическая оценка показателей связи при парной линейной корреляции

Условие. По данным выборочной совокупности решено уравнение и определены показатели связи урожайности с качеством почв (см. задачу 3.5).

Требуется проверить гипотезы и провести интервальную оценку коэффициентов регрессии и коэффициентов корреляции.

Решение.

А. Проверка гипотезы и интервальная оценка коэффициента регрессии.

1. Запишем решенное в задаче 3.5 уравнение связи урожайности с качеством почв: = 5,688 + 0,268 х ₁

2. Выдвинем нулевую гипотезу об отсутствии связи урожайности с качеством почв и равенстве коэффициента регрессии в генеральной совокупности нулю: Н₀: = 0; Н_а:

3. Используя материалы табл.5.1, исчислим остаточную дисперсию по урожайности:

=

= 6,8894

4. Определим остаточную дисперсию, скорректированную с учетом числа степеней свободы вариации:

, где к - число параметров уравнения связи.

5. Рассчитаем среднюю ошибку параметра а ₁ :

,

где из задачи 5.1

6. Рассчитаем фактическое (выборочное) значение критерия t -Стьюдента: t _факт.=

7. По таблице значений критерия t - Стьюдента (приложение 2) определим его критическое значение при уровне значимости и числе степеней свободы v = n - k: t _0,05=2,1009.

8. Сделаем вывод относительно нулевой гипотезы. Фактическое значение критерия выше его критического значения (t _факт.=8,0723, t _0,05=2,1009). Следовательно, нулевая гипотеза о равенстве коэффициента регрессии в генеральной совокупности нулю должна быть отвергнута.

9.Определим предельную ошибку параметра а ₁:

10. Запишем доверительные пределы параметра в генеральной совокупности: или

11. Сделаем вывод. С уровнем вероятности 0,95 можно утверждать, что величина коэффициента регрессии, характеризующего связь урожайности с качеством почв, в генеральной совокупности будет находиться в пределе от 0,1983 до 0,3377.

Б. Проверка гипотезы и интервальная оценка коэффициента корреляции.

1. Зная, что выборочный коэффициент корреляции урожайности с качеством почвы r _0.1= 0,8757 (см. задачу 3.5, п.8), выдвинем нулевую гипотезу об отсутствии связи между урожайностью и качеством почв и равенстве коэффициента корреляции в генеральной совокупности нулю: Н₀: ;

Н_а: .

2. Определим среднюю ошибку выборочного коэффициента корреляции:

3. Определим фактическое (выборочное) значение критерия t - Стьюдента для коэффициента корреляции:

t _факт. =

4. Сделаем вывод: сопоставление фактического и критического значения критерия t - Стьюдента (t _0,05=2,1009) дает основание отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве коэффициента корреляции в генеральной совокупности нулю.

5.Исчислим предельную ошибку коэффициента корреляции:

6. Запишем доверительные пределы коэффициента корреляции в генеральной совокупности:

или

7. Сделаем вывод. С уровнем вероятности 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции урожайности с качеством почв в генеральной совокупности находится в пределе от 0,7602 до 0,9912.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: