Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюсяподпоследовательность .

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Доказательство:

Предположим, что – ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку .
Разделим пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим и его длина равна . Разделим отрезок пополам, выберем из двух получившихся отрезков длина которого
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков таких, что:

Следовательно, по определению, наша последовательность стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
(1)
Покажем, что
Так как отрезок содержит бесконечное число членов последовательности , то .
Отрезок также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:

Вообще, , где
Следовательно, существует подпоследовательность последовательности
такая, что (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и принадлежат отрезку , и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка то есть:
при По теореме о трех последовательностях

Теорема доказана

Замечание

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так:
любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

21) Число Непера (второй замечательный предел)

Среди неопределенностей вида существует предел, играющий исключительную роль в высшей математике, называемый вторым замечательным пределом:

, (27)

Иррациональное число е (число Непера) равно

22) Теорема Больцано-Вейштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность определенного знака.

23) Верхний и нижний пределы последовательности

Если задана произвольная последовательность действительных чисел , то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпоследовательности.

Пределы этих подпоследовательностей принято называть частичными пределами последовательности .

По определению верхним пределом последовательности (или переменной ) называется число (конечное, или ), обладающее следующими двумя свойствами.

1) Существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся к :

.

2) Для любой сходящейся подпоследовательности последовательности

.

Верхний предел последовательности обозначают одним из символов

.

Если последовательность не ограничена сверху, то очевидно,

.

Переменная имеет .

Вот еще пример:

.

Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следовательно, ее верхний предел

.

Для ограниченной сверху последовательности ее верхний предел может быть определен также следующим образом: для всякого правее имеется разве что конечное число точек , правее же заведомо имеется бесконечное число точек .

Отметим, что если последовательность имеет обычный (конечный) предел , то, как мы знаем, для любого неравенства выполняются для всех , за исключением их конечного числа. Таким образом, правее имеется не более чем конечное число элементов , а правее - заведомо бесконечное их число.

Это показывает также, что .

Итак, если , то и .

Но разница между обычным пределом и верхним пределом заключается в том, что в случае предела левее имеется не более чем конечное число точек , а в случае верхнего предела левее может быть и бесконечное число точек .

По определению нижним пределом последовательности (или переменной ) называется число (конечное, или ), обладающее следующими свойствами:

1) Существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся к :

24) .

2) Для любой сходящейся подпоследовательности последовательности

.

Нижний предел переменной обозначают одним из символов

.

Если последовательность не ограничена снизу, то, очевидно,

.

Для ограниченной снизу последовательности нижний предел можно определить также следующим образом: для всякого левее имеется разве что конечное число точек (элементов) , левее же заведомо имеется бесконечное число точек (элементов) .

Очевидно, что

. (1)

Т е о р е м а 1. Для того чтобы последовательность имела предел (конечный, или ), необходимо и достаточно, чтобы , и тогда .

Заметим, что если , то в силу (1) , и по теореме 1

.

Очевидно также, что из равенства вытекает, что

.

З а м е ч а н и е. Можно показать, что число , которое мы получили при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса, является верхним пределом :

.

Это вытекает из того, что правее каждого отрезка имеется не больше чем конечное число точек .

С другой стороны, если бы мы видоизменили процесс, выбирая на каждом этапе деления на два равных отрезка не самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконечное число точек , то мы бы получили, возможно, другую точку , содержащуюся во всех , и эта точка была бы нижним пределом .

Если переменная не имеет предела, то заведомо , если же предел существует, то оба процесса необходимо приведут к одному и тому же числу .

25) Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

Последовательность называется фундаментальной, если для существует номер такой, что для любых выполняется неравенство:

Свойства фундаментальных последовательностей:

1. Если последовательность фундаментальная, тогда существует такой номер , что в -окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с этого номера.

2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограниченная и верхний предел равен нижнему.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: