Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона




Название “метод Ньютона” применяется к целому семейству методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.

Рассмотрим простой пример решения уравнения f(x)=x2 –3=0 (рис.1).

 

Рис. 1

 

Пусть выбрано некоторое исходное приближение x(0). Значение невязки уравнения равно значению функции в этой точке f(x(0)). Если функция f(x) дифференцируема в окрестности точки x(0), то заменим эту нелинейную функцию в окрестности данной точки линейной - в геометрической интерпретации на рис. 1 - касательной. Тогда из соотношения

 

 

можно определить поправку Dx и получить новое приближение x(1 ) =x(0)+Dx. Продолжая итера­ционный процесс по вычисленному x(1 ), можно найти значение x(2 ) и т.д. пока очередное приближение x(k ) с требуемой точностью не будет близко к одному из решений, например, для рис.1 к решению x*=1.73205...

Расчетная формула для метода Ньютона может быть получена, если представить f(x) в окрестности текущего приближения x(k ) в виде ряда Тейлора

 

,

 

где = x – x(k), и ограничиться линейными членами

 

.

 

По аналогии для системы нелинейных уравнений вида

 

=0 (17)

 

получим линеаризованную форму:

 

, (17)

 

где D x (k)= x (k+1) - x (k) - вектор поправок;

- квадратная матрица первых производных вектор-функции F (x) по вектору x, называемая матрицей Якоби, элементы которой формируются следующим образом:

, (19)

 

т.е. строки матрицы формируются “по номерам уравнений”, а столбцы “по индексам неизвестных”

Решение системы уравнений методом Ньютона включает два основных этапа. На первом выполняют дифференцирование в аналитической форме и строят расчетные выражения, необходимые для вычисления элементов матрицы Якоби.

На втором этапе применяют собственно итерационный алгоритм для получения решения, например, следующего вида:

þ 1. Выбрать начальный вектор x (0), положить k=0, x (k)= x (0)

þ 2. Вычислить вектор невязок F(x (k) ) по формуле (17).

Если все f i(x (k))<, где - заданная точность расчета, то получено решение, расчет окончен.

Если k>1 и максимальная по модулю невязка на очередной итерации увеличилась по сравнению с максимальной по модулю невязкой на предыдущей итерации, т.е. , то итерационный процесс расходится, расчет необходимо завершить аварийно.

þ3. Вычислить значения всех производных в точке x (k) и построить матрицу Якоби (19).

þ4. Решив систему линейных алгебраических уравнений (18), например методом Гаусса, и определить вектор поправок D x (k).

þ 5. Вычислить новое приближение x (k+1) =x (k)+ D x (k) и положить k=k+1.

þ6. Если k>kmax, где kmax -заданное предельное число итераций, то аварийно завершить расчет, иначе перейти к п.2 алгоритма.

þ 7. Конец алгоритма.

 

Метод Ньютона на достаточно гладких функциях при начальном приближении, близком к некоторому решению, обладает устойчивой квадратичной сходи­мостью. При плохой начальной точке x (0) имеет место расходящийся итерационный процесс. Метод Ньютона расходится, если матрица Якоби плохо обусловлена в окрестности решения.

В качестве косвенного критерия расходимости итерационного процесса можно использовать изменение знака якобиана - определителя матрицы Якоби. Якобиан может быть вычислен как побочный продукт решения методом Гаусса системы (17).

 

Задания:

1. Выполнить “вручную” две итерации решения методом Ньютона системы трех нелинейных алгебраических уравнений в соответствии с вариантом из табл. 1.

2.Выполнить решение той же системы на ЭВМ. Использовать готовую учебную программу, внеся соответствующие изменения в подпрограммы формирования матрицы Якоби и вычисления значений вектора невязок.

 

Таблица 1

Исходные данные для решения системы нелинейных уравнений

.№ ва­рианта Система нелинейных алгебраических уравнений № варианта Система нелинейных алгебраических уравнений
   
   
   
   
   
   
   
   
     
     
     
     

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных