ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Показательная форма комплексного числа.Из курса математики известна формула, преобразующая показательную функцию с мнимым показателем: (34) Данное равенство называется формулой Эйлера и будет более подробно рассмотрено в разделе математики «Функции комплексного переменного». Если представить комплексное число в тригонометрической форме (28): и воспользоваться формулой Эйлера (34), то получим более компактную запись: , (35) где . Полученное равенство есть показательная форма комплексного числа. Для показательной формы, как и для тригонометрической, справедливы формулы: (36) Так как показательная форма комплексных чисел получается напрямую из тригонометрической, то действия с комплексными числами в показательной форме будут аналогичны таковым в тригонометрической форме: 1) Если , , то (37) 2) Если , , то (38) 3) Если , то , где m – целое число (39) 4) Если , то (40) Замечание. Формулы (36) известны из курса математики также как формулы перехода от декартовых координат точки к её полярным координатам. Поэтому модуль r и аргумент j комплексного числа z можно рассматривать как полярные координаты точки z на комплексной плоскости. Поэтому показательную форму комплексного числа ещё называют полярной формой. Этот термин часто встречается в иностранной литературе.
При решении многих практических задач используется связь между арифметическими операциями с комплексными числами и действиями над их радиус-векторами. Теорема 1. При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).
Теорема 2. При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 3), т. е. равен разности радиусов-векторов точек и Теорема 3. При домножении комплексного числа на множитель радиус-вектор исходного комплексного числа поворачивается на угол . Рассмотрим произведение . По правилу действия с комплексными числами в показательной форме (37) имеем:
Таким образом, значение аргумента полученного комплексного числа представляет собой сумму , т.е. радиус-вектор, проходящий под углом к положительному направлению действительной оси перешел в радиус-вектор, проходящий под углом , при этом длина радиус-вектора осталась неизменной, что и соответствует повороту радиус-вектора на угол . Следствие. Домножение комплексного числа на множитель i поворачивает радиус-вектор комплексного числа на 90̊ против часовой стрелки, а деление на i поворачивает радиус-вектор комплексного числа на 90̊ по часовой стрелке. 1) Представим число i в показательной форме: , По теореме 3 при домножении на радиус-вектор комплексного числа повернётся на 90̊ против часовой стрелки. 1) Рассмотрим деление произвольного комплексного числа z на i. Преобразуем частное: Представим число в показательной форме: , По теореме 3 при домножении на радиус-вектор комплексного числа повернётся на против часовой стрелки, или, иначе, на 90̊ по часовой стрелке. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|