Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Определение линии регрессии.




Величины b0 и b1, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных (теоретических) минимальна, находятся из решения так называемой системы нормальных уравнений

 

,

.

Формулы для их определения:

Используя данные, относящиеся к индексам FTSE 100 и S&P 500, рассчитаем оценки параметров модели:

,

 

.

Итак, уравнение регрессии выглядит следующим образом:

.

Это можно интерпретировать как утверждение о том, что ожидаемое значение зависимой переменной Y (FTSE 100) равно постоянной величине 196,3298 плюс 5,9640 за каждую единицу независимой переменной Х (S&P 500).

 

 

Проверка модели

Полученная модель представляет лишь оценки коэффициентов регрессии. Поэтому важно проверить, насколько представительны данные оценки относительно истинных параметров модели. Это достигается проверкой статистической надежности (значимости) коэффициентов регрессии и близости расположения фактических данных к рассчитанной линии регрессии.

Проверка статистической значимости состоит в следующем. Выдвигается нулевая гипотеза Н0 о том, что коэффициенты статистически незначимо отличаются от нуля, и альтернативная ей гипотеза Н1:

Н0: b0 = 0, Н0: b1 = 0,

Н1: b0 ¹ 0, Н1: b1 ¹ 0.

Для проверки этих гипотез используются t-критерии, которые рассчитываются делением оценок на их стандартные ошибки

.

Стандартные ошибки коэффициентов – это корни квадратные их дисперсий:

, , .

 

Обычно статистическую значимость проверяют при уровне доверительной вероятности 95% или 99%. Это означает, что существует вероятность 95% или 99%, что значения b0 и b1 не случайны и являются значимыми оценками соответствующих параметров. Коэффициенты регрессии значимы, если t-критерий больше величины, указанной в таблице t-распределения.

В случае с фондовыми индексами имеем:

b1 = 5,9640, , b0 = 196,3298, .

Следовательно, t-критерий равен:

, .

Нам необходимо решить, будет ли проверка значимости «односторонней» или «двусторонней», причем решить это надо еще до того, как станут известны результаты регрессии. Выбор определяется теоретическим обоснованием модели связи Х иY, проверяемой с помощью регрессии. При односторонней проверке проверяется значимость коэффициентов регрессии, когда ожидаемая взаимосвязь между Х иY может быть или положительной (прямой), или отрицательной (обратной), но не той и другой одновременно. Двусторонняя проверка проверяет значимость, когда взаимосвязь между Х иY может быть и положительной, и отрицательной.

 

Вернемся к взаимосвязи между двумя индексами фондового рынка. Если эта модель базируется на глубокой уверенности в том, что экономика США доминирует в общемировой и определяет ожидания инвесторов, то связь между двумя переменными может быть только положительной, и, следовательно, односторонняя проверка оправдана.

Рассмотрим альтернативное мнение о том, что связь двух рынков зависит от относительного поведения двух экономик. Если не будет высокой корреляции между уровнями деятельности обеих экономик, они могут разойтись, а вместе с ними могут разойтись и характеристики рынков акций. Следовательно, они могут быть связаны положительно или отрицательно. Отсюда для проверки связи между двумя рынками необходима двусторонняя проверка.

Для проведения двусторонней или односторонней проверки того, что коэффициент регрессии значимо отличается от нуля при уровне доверительной вероятности 95 или 99% (или при уровне значимости 5 или 1% соответственно), обратимся к таблице t-распределения, используя соответствующий тест (двусторонний или односторонний). Выбрав из этой таблицы критическое значение при заданной вероятности (или уровне значимости) и при числе степеней свободы (n – 2), сравниваем его с рассчитанным значением t-критерия. Если табличное значение меньше расчетного, то нулевая гипотеза о равенстве нулю истинного значения параметра отвергается, и соответствующая оценка считается статистически значимой.

Для уровня значимости 1% и (n – 2) = 50 степеней свободы критическое значение t-статистики при использовании одностороннего теста составляет 2,4, а для двустороннего теста эта величина равна 2,7. (Если имеется таблица, в которой помещены значения, соответствующие только одностороннему тесту, то, чтобы провести двустороннюю проверку при уровне значимости, например, 5%, следует разделить 5% на два и принимать во внимание столбец, озаглавленный 2,5% (или 0,025)).

Расчетные значения t-критерия: , . Видим, что намного больше критического значения 2,4, тогда как не превосходит эту величину. Таким образом, b0 не является значимо отличным от нуля, а коэффициент регрессии b1 статистически надежен при уровне доверия 99%.

Проверка близости расположения фактических данных к рассчитанной линии регрессии осуществляется на основе исследования коэффициента детерминации и проведения дисперсионного анализа.

Регрессионная модель показывает, что вариация Y может быть объяснена вариацией независимой переменной Х и значением возмущения e. Мы хотим знать, насколько вариация Y обусловлена изменением Х и насколько она является следствием случайных причин. Другими словами, нам нужно знать, насколько хорошо рассчитанное уравнение регрессии соответствует фактическим данным, т.е. насколько мала вариация данных вокруг линии регрессии.

Для оценки степени соответствия линии регрессии нужно рассчитать коэффициент детерминации, суть которого можно хорошо уяснить, рассматривая разложение общей суммы квадратов отклонений переменной Y от среднего значения на две части – «объясненную» и «необъясненную» (рис. 4).

Из рис. 4 видно, что . Возведем обе части этого равенства в квадрат и просуммируем по всем i от 1 до n.

 
 

 

 


Y

 
 


Yi

е1

           
   
 
 
   
 

 

 


0

Хi Х

Рисунок 4. Структура вариации зависимой переменной Y

 

 

Легко показать, что в результате будем иметь:

 

(11)

Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений зависимой переменной Y от среднего значения вызвана влиянием множества причин, которые мы условно разделили на две группы: фактор Х и прочие факторы (случайные воздействия). Если фактор Х не оказывает влияния на результат (Y), то линия регрессии на графике параллельна оси абсцисс и . Тогда вся дисперсия зависимой переменной Y обусловлена воздействием прочих факторов, и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной суммой квадратов. Если же прочие факторы не влияют на результат, то Y связан с Х функционально, и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

Разделим обе части уравнения (11) на левую часть (на общую сумму квадратов), получим:

 

(12)

Доля дисперсии зависимой переменной, объясненная регрессией, называется коэффициентом детерминации и обозначается R2. Из (12) коэффициент детерминации определяется:

. (13)

Величина коэффициента детерминации находится в пределах от 0 до 1 и служит одним из критериев проверки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные, и ею можно пользоваться для прогноза значений результативного признака.

Значение R2 для регрессии данных по индексам FTSE 100 и S&P 500 составляет 0,8548. Таким образом, 85,48% изменения Y (индекс FTSE 100) объясняются изменением Х (индекс S&P 500). Доверяете вы или нет тому, что рынок акций США имеет сильное определяющее влияние на рынок Великобритании, будет зависеть от того, насколько основательно вы исследовали конкурирующие теории. Вспомним, что данная регрессионная модель – это только математическое выражение той гипотезы, которая проверялась.

Коэффициент детерминации R2 сам по себе является случайной переменной и поэтому нуждается в проверке значимости, которая осуществляется с помощью F-критерия Фишера. F-распределение отличается от других тем, что обладает двумя наборами чисел степеней свободы: один (часто обозначаемый n1) – в числителе критерия проверки, а другой (обозначаемый n2) – в знаменателе. В критерии проверки для R2 числителю соответствует одна степень свободы и (n – 2) степеней свободы соответствует знаменателю. Расчет F-критерия для проверки значимости R2 выполняется следующим образом:

.

Обратившись к F-таблице, видим, что табличное значение при 5%-м уровне значимости для n1 = 1 и n2 = 50 составляет примерно 4. Так как расчетное значение F-критерия больше табличного, то при доверительной вероятности 0,95 отвергаем нулевую гипотезу о том, что истинное значение коэффициента детерминации равно нулю.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициент детерминации (а значит, и модель в целом) являются статистически надежным показателем взаимосвязи рассматриваемых фондовых индексов.

Квадратный корень из величины коэффициента детерминации является коэффициентом корреляции – показателем тесноты связи.

 

Прогнозирование на основе эконометрической модели,






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных