Символьные операции с матрицами.

Для того, чтобы производить преобразования матриц в символьном виде используется оператор символьного вычисления →. Например:

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений
с использованием матричных преобразований

Для простоты решения ограничимся случаем системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Рассуждения на случай большего числа уравнений можно провести аналогичным образом. Пусть требуется найти решение система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

(1)

Введем следующие обозначения:

(2)

где A – матрица коэффициентов;

В – вектор свободных членов;

х – вектор неизвестных.

В матричном обозначении систему уравнений (1) можно записать в виде:

A∙x = B. (3)

Из линейной алгебры известно, что система (3) имеет единственное решение при условии невырожденности матрицы, т.е. её детерминант должен быть отличным от нуля. Поэтому, какой бы вычислительный метод не применялся,решение системы линейных уравнений всегда нужно начинать с вычисления определителя (детерминанта) матрицы.

Если применить к уравнению (3) аппарат матричных преобразований можно получить «матричную» формулу для вычисления х:

1. Помножим уравнение (3) слева на матрицу, обратную к матрице А:

A^{– 1} Ax = A^{– 1} B. (4)

2. Воспользуемся свойством, что A^-1∙A=E, где Е – единичная матрица. Тогда уравнение (4) примет вид:

Ex=A ^–1 B. (5)

3. Воспользуемся свойством, что Е∙х = х. Тогда уравнение (5) примет вид:

X = A ^–1 B (6)

где (6) – решение системы (3).

Пример 17. Требуется найти решение следующей системы линейных уравнений:

Решение. Решение СЛАУ матричным способом в системе MathCAD приведено на рис. 20.

Рис. 20. Решение СЛАУ в пакете MathCAD

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: