Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Источники литературы

Теоретический материал для выполнения курсовой работы

 

 

Н.Новгород

2016 г.

Системный анализ и этапы имитационного моделирования

Сложных систем

Большинство изучаемых и подлежащих моделированию объектов являются сложными системами. Характерные признаки сложной системы – невозможность рассмотрения отдельно каждого элемента (без установления связей с другими элементами и внешней средой), неопределенность, проявляющаяся в большом числе возможных состояний системы, неопределенность достоверности исходной информации, разнообразие вариантов путей достижения конечной цели функционирования системы, адаптивность (приспосабливаемость системы к возмущающим факторам воздействия внешней среды). Эти особенности вызывают необходимость использования методологии системного анализа при создании имитационной модели сложного объекта. Для анализа сложных объектов и процесов рассматривают системные направления, включающие в себя следующие термины: системный подход, системные исследования, системный анализ.

Системный подход. Этот термин начал применяться в первых работах, в которых элементы общей теории систем использовались для практических приложений. Заимствованные при этом понятия теории систем вводились не строго, не исследовался вопрос, каким классом систем лучше отобразить объект, какие свойства и закономерности этого класса следует учитывать при конкретных исследованиях и т. п. Иными словами, термин «системный подход» практически использовался вместо терминов «комплексный подход», «комплексные исследования». Под системным подходом понимается — направление методологии научного познания, в основе которого лежит рассмотрение объекта как системы: целостного комплекса взаимосвязанных элементов6; совокупности взаимодействующих объектов;

[совокупности сущностей и отношений (Холл А. Д., Фейджин Р. И., поздний Берталанфи). Блауберг И.В., Мирский Э.М., Садовский В.Н. Системный подход и системный анализ // Систем-ные исследования. – М., 1982. – С. 47-64. Берталанфи Л. Общая теория систем: критический обзор // Исследования по общей теории систем. – М., 1969. – С.23-82.]

В настоящее время системный подход рассматривается как начальная фаза современного системного анализа, как стадия (имеющих несколько этапов) первоначального качественного анализа проблемы решения и постановки задач исследования.

Системные исследования. В работах под этим названием понятия теории систем используются более конструктивно: определяется класс систем, вводится понятие структуры, а иногда и правила ее формирования и т. п. Это был следующий шаг в системных направлениях. В поисках конструктивных рекомендаций появились системные направления с разными названиями: системотехника, системология и др. Для их обобщения стал применяться термин «системные исследования». Часто в работах использовался аппарат


 

исследования операций, который к тому времени был больше развит, чем методы конкретных системных исследований.

Системный анализ. В настоящее время системный анализ является наиболее конструктивным направлением анализа систем.

Системный анализ в широком смысле – это методология (совокупность методических приемов) постановки и решения задач построения и исследования систем, тесно связанная с математическим моделированием [28, 33, 46, 71, 80, 97, 144]. В более узком смысле системный анализ – методология формализации сложных (трудно формализуемых, плохо структурированных) задач. Системный анализ возник как обобщение приемов, накопленных в задачах исследования операций и управления в технике, экономике, военном деле. Соответствующие модели и методы заимствовались из математической статистики, математического программирования, теории игр, теории массового обслуживания, теории автоматического управления. Системный анализ – это целенаправленная творческая деятельность человека, на основе которой обеспечивается представление исследуемого объекта в виде системы. Системный анализ характеризуется упорядоченным составом методических приемов исследования.

Системный анализ – направление анализа, содержащее методику разделения процессов на этапы и подэтапы, систем на подсистемы, целей на подцели и т. д. В системном анализе выработана определенная последовательность действий (этапов) при постановке и решении задач, которую будем называть алгоритмом (методикой) системного анализа. Эта методика помогает более осмысленно и грамотно ставить и решать прикладные задачи. Если на каком-то этапе возникают затруднения, то нужно вернуться на один из предыдущих этапов и изменить (модифицировать) его. Если и это не помогает, то это значит, что задача оказалась слишком сложной и ее нужно разбить на несколько более простых подзадач, т. е. провести декомпозицию. Каждую из полученных подзадач решают по той же методике.

Метод системного анализа с успехом применяется к решению самых разных проблем в практически любой области – от проблем корпоративного управления и принятия управленческих решений, до моделей в области со-


циологии, экономики, физики, информатики, биологии и т.п. Более того, в последние годы этот метод используется как один из основных подходов к анализу и построению структуры диссертационных исследований в любых отраслях.

Остановимся на этих ранних этапах основного содержания деятельно-сти системного аналитика. Для всех следующих этапов имитационного мо-делирования эта работа важна. Именно здесь же специалист по имитацион-ному моделированию может проявить себя как системный аналитик, кото-рый владеет таким искусством, как моделирование.

На рис. 1.5 представлена схема проведения имитационного исследова-ния сложной системы, предложенная Р.Шенноном [3, 6].

 

 

Рис.1.5. Этапы разработки компьютерной модели сложной системы


 

В каждом цикле разработки компьютерных моделей сложных объектов можно выделить следующие этапы.

1. Формулировка проблемы

Здесь проводится описание исследуемой проблемы и определение целей исследования. Постановка задачи, формулировка и установление иерархии целей и подзадач. Изучение поведения системы в целом.

Результатом этого этапа должно быть документированное содержа-тельное описание объекта моделирования. Иначе говоря, построение полной информационной модели объекта или системы.

Анализ проблемы начинается с детального изучения всех его аспектов функционирования. Здесь очень важно понимание деталей, поэтому надо взаимодействовать с экспертами, либо быть хорошим специалистом в кон-кретной предметной области. Данная система связана весьма тесно с другими системами, поэтому важно правильно и четко определить задачи, но при этом задача моделирования разбивается на частные задачи.

Разработаны алгоритмы системного подхода к решению проблемы, они представлены в виде ряда этапов (см. рис.1.6).

Рис. 1.6. Содержание системного подхода к решению проблем

Первый и самый решающий шаг при создании абсолютно любой модели моделирования состоит в обосновании ее целевого назначения. Воз


можно применение метода декомпозиции целей, который предполагает разделение целого на части: задач – на подзадачи, целей – на подцели и т.д. Ес-ли использовать такой подход на практике, то он приводит к иерархическим древовидным структурам (т.е. построение дерева целей).

Остановимся на более употребляемых категориях целей в имитацион-ном исследовании: предсказание, сопоставление альтернатив, оценка, опти-мизация и др. Эксперименты по моделированию проводятся с разнообразными целями:

 прогноз – критика поведения системы при некоем предполагаемом со-четании рабочих условий;

 сравнение альтернатив – сравнение соперничающих систем, рассчи-танных на выполнение конкретной функции, либо же на сравнение 1-го и более предлагаемых рабочих принципов либо методик;

 выявление многофункциональных соотношений – определение зави-симости между двумя или более действующими факторами, с одной стороны, и откликом этой системы, с другой стороны;

 анализ чувствительности – обнаружение из чуть большего числа рабо-тающих факторов тех, которые в большей степени воздействуют на все по-ведение системы;

 оценка – определение, как буквально система предлагаемой структуры станет подходить неким конкретным аспектам;

 оптимизация – конкретное определение сочетания работающих вели-чин и их причин, обеспечивающих наилучший отклик всей системы в целом;

 демонстрация – показ возможностей модели и имитационных исследо-ваний системы.

 

2. Определение границ

Логико-математическое описание моделируемой системы в соответст-вии с формулировкой проблемы. Определение границ системы и внешней среды, т.е. выделение системы из окружающей среды. Определение входных параметров и выходных характеристик системы.

В каждой модели существует некоторая комбинация составляющих как переменные, параметры, компоненты, функциональные зависимости, ог-раничения, целевые функции (аспекты).

При описании моделируемой системы и процессов, определяются ос-новные параметры и переменные модели. Параметрами являются величины, которые исследователь может выбирать произвольно, в отличие от пере-


менных модели, которые могут принимать значения, определяемые видом заданной функции.

Компонентами системы считают составные части, которые образуют систему. Иногда компонентами считают также элементы системы или ее подсистемы. Система определяется как группа или совокупность объектов, объединенных некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимо-зависимости для выполнения заданной функции.

Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах компоненты или же выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения по природе являются либо детер-министскими, либо стохастическими.

Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы измене-ния значений переменных или ограничивающие условия их изменений. Они могут вводиться либо разработчиком, либо устанавливаться самой системой вследствие присущих ей свойств.

Целевая функция (функция критерия) представляет собой точное ото-бражение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выпол-нения. Выражение для целевой функции должно быть однозначным опреде-лением целей и задач, с которыми должны соизмеряться принимаемые ре-шения (см.предыдущий этап).

3. Формулировка и разработка модели

Включает в себя разработку концептуальной модели и формализацию построенной концептуальной модели.

3.1. На этом стадии работы результатом деятельности разработчика компьютерной модели является создание полной концептуальной модели.

Концептуальная (содержательная) модель – это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для дос-тижения цели моделирования. Построение концептуальной модели включает в себя декомпозицию системы, определение и выделение основных компо-нент, элементов и подсистем (построение модели состава). Концептуальная модель – это логико-математическое описание смоделированной системы в соответствии с формулировкой проблемы.

Главным содержанием этого шага является переход от настоящей сис-темы к логической схеме ее функционирования, формулировка всеобщего плана модели. В этом шаге приводится алгоритмизация функционирования



 

ее составляющей и отображение объекта в терминах математических поня-тий.

Итогом работы на предоставленном шаге является избранный метод формализации моделируемой системы, документированное концептуальное отображение. Если формируют малые модели, то этот шаг совмещается с шагом составления содержательного описания моделируемой системы, на котором уточняется способ имитационного опыта. Построение концепту-альной модели наступает с определения действия наружной среды, на базе цели моделирования устанавливаются рубежи моделируемой системы, вы-двигаются гипотезы и укрепляются все дозволения (предположения), какие нужны для построения имитационной модели, обсуждается степень детали-зации моделируемых процессов.

Найти систему можно как совокупность взаимосвязанных частей. Оп-ределение системы зависит от того, кто определяет систему и от цели моде-лирования. На данном этапе выполняется декомпозиция системы, определя-ются более значительные взаимодействия между ними, в смысле сформули-рованной трудности, составляющие системы (выполняется структурный анализ моделируемой системы), выявляются главные аспекты функциониро-вания моделируемой системы (составляется многофункциональная модель), приводится изображение внешней среды. Выделение подсистем либо деком-позиция системы (объекта моделирования) – это процедура анализа. Со-ставляющие таковой модели должны быть реально существующим фрагмен-том в системе, а сложная система разбивается на части, которая охраняет при этом связи, обеспечивающие взаимодействие. Разрешено составить много-функциональную схему, проясняющая специфику динамических процессов, какие проистекают в рассматриваемой системе, и принципиально найти, ка-кие будут вынесены во внешнюю обстановку, какие элементы будут введены в модель и какие взаимосвязи будут постановлены между ними.

Итак, вначале находится “элементарнoсть” – составляется наиболее простое дерево целей, строится упрощенная конструкция модели. Далее проводится постепенная детализация модели. Используется метод «от про-стого к сложному». Сначала строится простая модель, затем она усложняет-ся. Здесь применяется принцип итеративного построения модели (иерархи-ческий метод), когда по мере исследования системы по модели, в ходе ее разработки, модель меняется в результате добавления новых, либо исключе-ния некоторых её элементов и/или взаимосвязей между ними.



 

Как перейти от реальной системы к её упрощенному (приближенному) описанию? Упрощение, приближение – основной прием любого моделиро-вания. Избранный уровень детализации должен позволять абстрагироваться от неточно определенных, из-за аспектов функционирования реальной сис-темы, вследствие недочета информации.

Под упрощением (приближением) понимается пренебрежение несуще-ственными деталями, либо принятие догадок o наиболее простых соотноше-ниях (к примеру, предположение o линейной зависимости между перемен-ными). При моделировании выдвигаются гипотезы, догадки, относящиеся к взаимосвязи между компонентами и переменными системы.

Иным аспектом разбора реальной системы является абстракция, она содержит в себе существенные качества поведения объекта, однако не обяза-тельно в такой же форме и столь подробно, как это имеет место в реальной системе.

После анализа элементов и подсистем приступаем к их соединению и объединению в единое целое. В концептуальной модели должно быть кор-ректно отражено их взаимодействие. Композиция есть операция синтеза, аг-регирование (при системном моделировании это не всегда сводится к эле-ментарной сборке компонентов). В ходе операции выполняется введение от-ношений между элементами (к примеру, уточняется конструкция, приводит-ся описание отношений, упорядочение и др.).

Таким образом, системное исследование построено на сочетании опе-раций анализа и синтеза: проведение анализа взаимосвязей подсистем, уста-новление связей между компонентами, подсистемами, элементами (построе-ние модели структуры связей); принятие гипотез и допущений, физическая схематизация, иначе говоря, построение общей структуры системы с учетом всех подсистем и связей.

Для разработки концептуальной модели часто используются информа-ционные системы проектирования BPwin, Erwin, Rational Rose, CASE Ана-литик, ARIS Toolset и др., в которых можно провести контекстную и функ-циональную декомпозицию системы, потоков данных, управляющих пото-ков, определить структуру данных, построить диаграммы «сущность-связь».

3.2. Формализация построенной концептуальной модели осуществля-ется с помощью языка или аппарата математических методов, в том числе и имитационных технологий. В зависимости от сложности объекта и цели мо-делирования выбирается один из подходов аналитического или имитацион-ного моделирования (статистический подход, динамическая система, дис-



 

кретно-событийное, мультиагентное моделирование, системная динамика, когнитивное, SIE – моделирование). В рамках выбранного подхода прово-дится разработка математического описания объекта моделирования. Ре-зультатом этого этапа является разработка технического проекта компью-терной установки для моделирования.

Процесс формализации сложной системы включает следующие виды работ:

 выбор способа формализации;

 составление формального описания системы.

 

В процессе построения модели можно выделить 3 уровня ее представ-ления:

 неформализованный (этaп 2) – концептуальная модель;

 формализованный (этaп 3) – формальная модель;

 программный (этап 4) – имитационная модель.

 

Каждый уровень отличается от предыдущего степенью детализации моделируемой системы и способами описания ее структуры и процесса функционирования. При этом уровень абстрагирования возрастает.

Концептуальная модель – это систематизированное содержательное описание моделируемой системы (или проблемной ситуации) на неформаль-ном языке. Неформализованное описание разрабатываемой имитационной модели включает определение основных элементов моделируемой системы, их характеристики и взаимодействие между элементами на собственном языке. При этом могут использоваться таблицы, графики, диаграммы и т.д. Неформализованное описание модели необходимо как самим разработчикам (при модификации, проверке адекватности модели и т.д.), так и для взаимо-понимания со специалистами других профилей. Концептуальная модель со-держит исходную информацию для системного аналитика, выполняющего формализацию системы и использующего для этого определенную методо-логию и технологию на основе формализованного описания осуществляется разработка более строгого и подробного формализованного описания.

Формализация объекта исследования осуществляется на основе той методологии имитационного моделирования, которая подходит к данной системе. Наблюдается множество схем (концепций) формализации и струк-туризации, которые пошли в применение в имитационном моделировании. Такие таблицы формализации исходят из различных понятий об изучаемых процессах и ориентируются на разные математические теории. Отсюда множество схем формализации и трудности отбора подходящей для описа-



 

ний данного предмета моделирования. В настоящее время существуют раз-работанные подходы и методологии формализации имитационного модели-ровании: методы статистического моделирования, моделирования динамиче-ских систем, системной динамики, дискретно-событийного моделирования и др.

Имитационная модель – преобразование формализованного описания в программу – имитатор, построенную в соответствии с некоторой методи-кой в средах программирования или моделирования. Аналогичная схема имеет место и при выполнении имитационных экспериментов: содержатель-ная постановка отображаются на формальную модель, после чего вносятся необходимые изменения и дополнения в методику направленного вычисли-тельного эксперимента. Основная задача этапа формализации – дать фор-мальное описание сложной системы, свободное от второстепенной инфор-мации, имеющейся в содержательном описании, алгоритмическое представ-ление объекта моделирования.

Цель формализации при аналитическом моделировании – построить аналитическую модель в виде каких-либо уравнений (линейных, дифферен-циальных, интегро-дифференциальных и др.).

Цель формализации при имитационном моделировании – получить формальное представление лoгико-математической модели, т.е. алгоритмов поведения компонентов сложной системы и отразить на уровне моделирую-щего алгоритма взаимодействие между компонентами.

Таким образом, концептуальное или формальное описание модели сложной системы на уровне формализации это построение имитационной компьютерной модели «программы – имитатора» в соответствии с некото-рой методикой программирования с применением языков и систем автома-тизации моделирования. Выбор инструментального средства для построения компьютерной модели является основным моментом в имитационном иссле-довании сложной системы.

4. Подготовка данных

Включает идентификацию, спецификацию и сбор данных.

Идентификация – статистический анализ модели, статистическое оце-нивание неизвестных параметров.

Спецификация – определение конечных целей моделирования; опре-деление набора экзогенных и эндогенных переменных; определение состава системы уравнений, их структур; формулировка исходных предпосылок, ог-



 

раничений. Спецификация опирается на имеющиеся экономические теории, специальные знания, интуицию исследователя.

В подготовку данных входит сбор и анализ исходных данных для мо-делирования. Если трассировку и программирование имитационной модели можно выполнять на гипотетических данных, то предстоящее эксперимен-тальное исследование нужно выполнять на реальном потоке данных, так как от этого зависит адекватность модели реальной системе и точность полу-чаемых результатов моделирования. Здесь перед разработчиком имитацион-ной модели встают два вопроса: где и каким образом получить и собрать ис-ходную информацию, и как обработать собранные данные о жизненной сис-теме.

Основные способы получения исходных данных:

 из экспериментальных данных (физический эксперимент);

 из документации на систему (финансовая и техническая документация для промышленных систем, данные отчетов, статистические сборники, к примеру, для социально-экономических систем и др.);

 из литературных источников по рассматриваемой системе.

 

Бывает так, что для задания начальной информации нужно вести предварительный, априорный синтез данных, натурные опыты на модели-руемой системе либо на ее прототипах, а время от времени исходные данные имеют все шансы не быть, а моделируемая система исключает вероятность физического эксперимента, и тогда дают различные приемы предваритель-ного объединения данных. При моделировании информационных систем длительность выполнения информационного требования оценивается на ос-новании трудоемкости (реализуемых на ЭВМ) алгоритмов. К таким спосо-бам относят различные процедуры, основанные на общем обзоре проблема-тики, анкетировании, интервьюировании, большом применении методов экспертного оценивания.

Второй вопрос связан с проблемами идентификации входных данных для стохастических систем. Имитационное моделирование является весьма эффективным аппаратом исследования стохастических систем, т.е. таких систем, динамика которых зависит от случайных факторов: входные (либо выходные) переменные стохастической модели, случайные величины, век-торы, функции, случайные процессы. Именно поэтому появляются лишние трудности, связанные с синтезом уравнений относительно неизвестных за-конов распределения и определением вероятностных характеристик (мате-матических ожиданий, дисперсий, корреляционных функций и т.п.) для ана-



 

лизируемых процессов и их параметров. Необходимость статистического анализа при анализе и сборе входных данных связана с целью определения вида функциональных зависимостей, описывающей входные данные, оцен-кой конкретизированных значений параметров этих зависимостей, а также проверкой значимости параметров. Для подбора теоретических распределе-ний случайных величин используют известные приемы математической ста-тистики, основанные на определении параметров эмпирических распределе-ний и проверке статистических гипотез, с применением критериев согласия, согласуются ли экспериментальные данные с известными законами распре-деления.

5. Трансляция модели

Трансляция модели – это перевод модели со специальных имитацион-ных языков или языка математики на язык программирования, на котором будет реализована прикладная программа, соответствующая компьютерной модели. Алгоритмизация и программная реализация, т.е. строится про-граммный комплекс моделирования объекта исследования. Проводится от-ладка компьютерной модели.

6. Оценка адекватности (верификация и валидация)

Верификация – это установка правильности разработанной программы, формальное, либо практическое доказательство ее правильной работоспо-собности на ЭВМ. На этом этапе проводится испытание, корректировка, проверка модели, комплексное тестирование компьютерной модели на адек-ватность объекту моделирования.

Валидация – это оценка требуемой точности и адекватности имитаци-онной модели.

После реализации имитационной модели на ЭВМ, необходимо прово-дить испытания для оценки достоверности модели. В периоде испытания и исследования разработанной имитационной модели организуется комплекс-ное тестирование модели (testing) – планируемый итеративный процесс, на-правленный на поддержку операций верификации и валидации имитацион-ных моделей и данных.

Если в случае проведенных процедур модель окажется недостаточно подлинной, то может быть осуществлена калибровка имитационной модели (в моделирующий алгоритм встраиваются калибровочные коэффициенты) с целью снабжения адекватности модели. В более трудных случаях достижи-мы большие итерации на ранние периоды с целью снятия дополнительной информации о моделируемом объекте или доработки имитационной модели.



 

Наличие ошибок во взаимодействии компонентов модели возвращает иссле-дователя на этап создания имитационной модели. Причиной этого может быть с самого начала упрощенная модель процесса или явления, что приво-дит к неадекватности модели объекту. В случае, если выбор способа форма-лизации оказался весьма неудачным, то должно повторить этап создания концептуальной модели с учетом свежей информации и приобретенного опыта. Наконец, если оказалось, что информации об объекте мала, то нужно вернуться к периоду составления полного описания системы и конкретизи-ровать его с учетом итогов испытания.

7-8. Стратегическое и тактическое планирование

На этом этапе проводится стратегическое и тактическое планирование машинного эксперимента. Результатом является составленный план экспе-римента и проведенный вычислительный эксперимент («прогоны» компью-терной модели с различными начальными данными). Здесь проводится опре-деление условий машинного эксперимента с имитационной моделью, а так-же параметров при тестировании модели, результаты по входным данным.

9. Постановка экспериментов. На данном этапе предполагается про-гон программы имитационной модели на ЭВМ для получения выходных данных или результатов, позволяющих оценить адекватность построенной модели. Здесь также необходимо определить условия, в которых будет осу-ществляться тестирование, проверка работоспособности и возможности функционирования; параметры, на которые надо обратить внимание при тес-тировании модели. Параметры могут быть связаны со способностью модели реагировать на какие-либо стохастические воздействия, на неверные вход-ные данные, либо полное их отсутствие, на неверные действия персонала.

Далее проводится вычислительный эксперимент на имитационной мо-дели. На последних стадиях имитационного моделирования необходимо вес-ти стратегическое и тактическое планирование имитационного эксперимен-та. Организация направленного вычислительного эксперимента на имитаци-онной модели считает выбор и использование различных аналитических приемов для обработки итогов имитационного исследования. Ради этого применяются способы планирования вычислительного эксперимента, стати-стический, регрессионный и дисперсионный анализ, методы оптимизации. Организация и проведение опыта требует корректного использования воз-можных аналитических приемов. Согласно полученным результатам прове-денное обследование должно позволить сделать выводы, достаточные для



 

принятия решений по обозначенным на ранних стадиях проблемам и зада-чам.

10. Анализ результатов моделирования

Обработка, визуализация и интерпретация результатов машинного компьютерного эксперимента, предполагает рассмотрение и изучение ре-зультатов имитационного эксперимента для подготовки выводов о возмож-ности применения имитационной модели для решения некоторой проблемы.

11. Реализация и документирование

На основе построенной имитационной модели можно дать рекоменда-ции о принятии того или иного управленческого решения и документально отразить процесс функционирования модели и полученные результаты. Ана-лиз основных проблем, возникающих при создании модели сложной систе-мы.

Более подробно перечнем работ на каждом этапе разработки имитаци-онных моделей сложных систем можно ознакомиться в работах авторов [2, 3, 4, 5, 124].


 

Источники литературы

 

 

1. Маликов, Р.Ф. Практикум по имитационному моделированию сложных систем в среде AnyLogic 6: учебное издание, Уфа 2013 – 296 с.

2. Девятков, В.В. Методология и технология имитационных исследований сложных систем: современное состояние и перспективы развития [Текст]: монография / В.В.Девятков. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА–М, 2013. – 448с.

3. Замятина, Е.Б. Современные теории имитационного моделирования (Специальный курс для магистров второго курса). Пермь: ПГУ, 2007, 119 с.

4. Кобелев, Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных эконо-мических систем [Текст]: учеб. пособие/ Н.Б.Кобелев. – М.: Дело, 2003. – 336 с.

5. Петухов, О.А. Моделирование: системное, имитационное, аналитиче-ское [Текст]: учеб. пособие / О. А. Петухов, А. В. Морозов, Е. О. Пету-хова. – 2-е изд., испр. и доп. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2008. – 288 с.

6. Советов, Б.Я. Моделирование систем [Текст]: учебник для бакалавров / Б.Я. Советов, С. А. Яковлев. – М.: Изд-во Юрайт, 2012. – 343с.

 


 


 


 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Возрастные особенности подростков | Рептилия — это такая ящерица


Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных