Выбор независимых переменных 11 страница

В заключение можно отметить, что задача оптимального управления движением поезда на тепловозной тяге сведена к задаче НЛП, для решения которой использован метод случайного поиска с элементами коррекции при формировании управления из условия обеспечения заданных ограничений на скорость движения и время движения расписанию. Результаты многочисленных расчетов, проведенных с использованием разработанной авторами [93, 94] программы, показали практическую возможность и целесообразность предложенной методики для синтеза оптимального управления движением поездов.

6. Стандартное программное обеспечение решения задач нелинейного программирования

Разнообразие и сложность реальных задач принятия оптимальных решений (в частности, разработка энергооптимальных программ движения поездов) требуют применения эффективных и надежных средств поиска оптимума. Интерес к разработке поисковых алгоритмов решения оптимизационных задач не ослабевает и по сей день [97-105]. В Интернете имеется огромное количество литературы по тематике ''Численные методы оптимизации'' или ''Методы нелинейного программирования''. Некоторые книги помимо описания алгоритмов содержат программы оптимизации, написанные на том или ином языке, например, Pascal, Fortran, Basic. Наличие таких программ, в какой-то мере, может помочь исследователю в решении задач оптимизации на компьютере. При этом необходимо располагать:

1) адекватной математической моделью оптимизируемого процесса, реализованной на компьютере;

2) программой расчета критерия оптимальности;

3) программой конкретного метода оптимизации(градиентные методы, методы случайного поиска и др.).

При построении математической модели оптимизируемого процесса используются:

1) теоретические модели, сформированные на описании процессов на основе законов механики, физики, электротехники и др.;

2) экспериментально — статистические модели, когда теоретическую модель построить невозможно из-за сложности исследуемого динамического процесса, например, на химических производствах, в биологических системах и др.

У инженера-разработчика перед решением конкретной задачи оптимизации возникают вопросы о выборе алгоритма, назначении для него рациональных настроечных параметров, приемлемом времени решения задачи и др. При этом, не являясь специалистом в области оптимизации, а также нежелание тратить время на программирование тех или иных алгоритмов, пользователь, тем не менее, стремится получить оптимальное решение в кратчайшие сроки.

В данной главе рассматриваются вопросы использования поисковых методов оптимизации, имеющихся в различных инструментальных системах, разработанных как крупными корпорациями, так и ведущими российскими ВУЗами. К таким программным продуктам, например, относятся LabVIEW[106-110], MATLAB[111-116], МВТУ[117,118]. Автор данного пособия в течение многих лет руководит курсовым проектированием в рамках дисциплины ''Автоматизация проектирования систем и средств управления'', выполняемым студентами специальности 220201 ''Управление и информатика в технических системах''. Целью курсового проекта является параметрический синтез корректирующего устройства, обеспечивающего устойчивую работу следящей системы автоматического управления (САУ) и выполнение требований к статике и динамике системы [119].

6.1. Объект исследования

Структурная схема исследуемой в курсовом проекте следящей САУ изображена на рис. 6.1.

Рис. 6.1 Структурная схема следящей САУ

Рассматриваемая САУ состоит из следующих звеньев:

1) Сельсинная пара (СД-СП), работающая в трансформаторном режиме и имеющая статический коэффициент усиления К_изм;

2) Усилитель с передаточной функцией

где К_ус -коэффициент усиления;

Т_ус -постоянная времени 3) Синтезируемое корректирующее устройство с передаточной функцией

4)Двигатель с передаточной функцией

где К_дв - коэффициент усиления;

Т_дв - постоянная времени.

5)Редуктор с передаточной функцией

где - передаточное число редуктора.

На вход системы поступает единичное ступенчатое воздействие g(t)=1(t). На выходе САУ получаем переходную функцию y(t)=h(t). Следящая система отрабатывает рассогласование между входом и выходом (t).

Под синтезом корректирующего устройства в данном курсовом проекте понимается определение параметров корректирующего устройства заданной структуры из условия выполнения требований к динамике САУ по времени регулирования переходного процесса и перерегулированию . Кроме того, САУ должна обеспечить заданную кинетическую ошибку при входном воздействие типа .

Сформулированные выше задача параметрического синтеза относится к задаче нелинейного программирования(НЛП), для решения которой используются поисковые алгоритмы оптимизации, реализованные в пакетах прикладных программ LabVIEW, MATLAB, МВТУ. Подробное изложение методики использования вышеупомянутых программных продуктов дано в [120-123].

В этих методических указаниях описываются действия студента при решении конкретных задач (устойчивость, качество переходного процесса, оптимизация параметров САУ) при использовании программных продуктов LabVIEW, MATLAB, МВТУ. Даются рекомендации по разработке индивидуальных программ для решения подобных задач на языке Delphi.

Структура корректирующего устройства, используемая в курсовом проекте имеет вид[119].

Изменение параметров корректирующего устройства (с последующим анализом устойчивости скорректированной системы и построением переходного процесса в ней в случае устойчивости) производится с использованием поисковых методов оптимизации. Подробное описание некоторых из них дается в главе 2.

Укрупненная блок-схема алгоритма синтеза корректирующего устройства САУ с применением методов НЛП приведена на рис. 2 [119].

Следует отметить, что использование в качестве критерия оптимальности, характеризующего динамику САУ, квадратичных интегральных оценок вида

позволяет вычислять последние с использованием коэффициентов передаточной функции замкнутой скорректированной системы. При этом не требуется интегрирования системы дифференциальных уравнений САУ, а решение задачи НЛП сводится к поиску параметров корректирующего устройства из условия минимума критерии I₂, значение которого на каждом шаге оптимизации вычисляется по формулам приложения 32 [91].

6.2 Параметрический синтез САУ средствами LabVIEW

LabVIEW- это программная среда, использующая язык графического программирования G. Этот язык был создан специально для инженеров и ученых. Идея, стоящая у истоков создания LabVIEW была в том, чтобы формализовать этап формирования блок-схем используемых систем и убрать текстовые инструкции. С использованием языка G программа представляется не в виде схематического текстового описания,а в виде графического представления основных операторов программирования и проводников потока данных,определяющих последовательность выполнения программы на блок-диаграмме [120].

В LabVIEW интерфейс пользователя создается с использованием множества элементов. По аналогии с реальным прибором интерфейс пользователя называется лицевой панелью. Исходная программа на языке G называется блок-диаграммой,для создания которой программист использует множество функций. Программа,написанная в среде LabVIEW, называется виртуальным прибором. Таким образом, интерактивные графические лицевые панели виртуального прибора обеспечивают управление программой и представление данных.

При решении поставленной задачи параметрического синтеза корректирующего устройства САУ были разработаны два виртуальных прибора ВП1 и ВП2 [120].

ВП1 позволяет:

1. Задавать любые передаточные функции вида

2. Задавать структуры корректирующих устройств в соответствии с заданием.

3. Рассчитывать и отображать:

- переходную функцию h(t);

- частотные характеристики ЛАЧХ и ЛФЧХ;

- корни числителя и знаменателя передаточной функции;

- передаточную функцию исходной и скорректированной САУ.

4. Оценивать качество переходного процесса по величинам максимального значения переходной функции, перерегулированию и времени регулирования;

5. Проводить анализ устойчивости системы и делать вывод о характере переходного процесса.

ВП2 включает все свойства ВП1 и позволяет:

1. Осуществлять процесс оптимизации как для каждого параметра корректирующего устройства, так и для их совокупности;

2. Рассчитывать и отображать текущие и удачные:

- переходные функции системы;

- параметры корректирующего устройства;

- значения показателей качества переходного процесса.

Для решения задачи оптимизации переходного процесса критерии оптимальности формируются в следующем виде:

где - весовые коэффициенты;

- требуемые показатели динамики САУ;

- текущие значения тех же показателей, получаемых в результате вариации параметров корректирующего устройства.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений системы осуществляется с использованием 4-х точечного метода Рунге — Кутты. Имеется возможность применения также методов Эйлера и Адамса.

При выборе шага интегрирования руководствуются следующим правилом: величина шага интегрирования не менее чем в 10 раз меньше минимальной постоянной времени звена, входящего в передаточную функцию всей системы. Для оптимизации параметров корректирующего устройства запускают ВП2. При этом перед началом счета необходимо задать большую величину функции качества переходного процесса, так как исходная система неустойчива и корни знаменателя передаточной функции лежат в правой полуплоскости (о чем свидетельствует картина расположения корней на комплексной плоскости).

В качестве метода оптимизации используется случайный поиск с переменной величиной шага. Критерием окончания процесса оптимизации является исчерпание ресурса числа итераций. Оптимизация осуществляется как для отдельного параметра, так и для совокупности параметров корректирующего устройства САУ.

Процесс оптимизации и его завершение можно наблюдать на лицевой панели ВП2 с помощью окна, в котором отражаются картины переходных процессов для текущих и удачных значений оптимизируемых параметров корректирующего устройства.

6.3. Параметрический синтез САУ средства MATLAB

Для выполнения сложных математических расчетов применяют компьютеры, в которых исполняютя программы, написанные пользователями на языках Fortran, Pascal и Basic и др. Программирование является достаточно трудоемкой операцией и занимает большую часть времени, отведенное для решения задачи. В настоящее время для выполнения расчетов на компьютере, с успехом можно использовать готовые процедуры и функции, которые имеются в системах автоматизации математических расчетов. Одной из таких проверенных временем и тщательно проработанных систем является MATLAB, разработанная корпорацией Math Works и поставляемая как комплекс MA + Simulink.

Система MATLAB состоит из пяти основных частей[121]:

1) среда разработки- набор инструментов и средств, которые помогают использовать функции и файлы MATLAB. Большая часть этих инструментов является графическими.

2) Библиотека математических функций MATLAB- обширный комплекс вычислительных алгоритмов от элементарных до сложных функций, осуществляющих решение систем уравнений, численное интегрирование, оптимизацию и др.

3) Язык программирования MATLAB включает в себя свойства языка объектно-ориентированного программирования с управляющей логикой, функциями, структурой данных, вводом и выводом данных.

4) Графика содержит средства для двух или трехмерной визуализации, функции для обработки изображений, анимации и составления графиков для презентации.

5) Программный интерфейс приложения MATLAB-библиотека, которая позволяет взаимодействовать системе MATLAB с программами, написанными на языках Cи, Fortran и др.

Simulink является пакетом программ, расширяющим функциональность MATLAB. При помощи Simulink можно создавать, моделировать и анализировать такие динамические системы как механические, электрические, термодинамические и др. Моделирование в Simulink происходит в две стадии. Во-первых формируется графическая модель системы в виде блок-схемы с использованием редактора моделей Simulink и в которой отражается зависимость входов и выходов системы от времени

На втором этапе, после создания модели выбирается метод численного интегрирования, шаг и время интегрирования. Результаты моделирования отображаются с использованием блока Scope и других блоков. Для получения непрерывного решения дифференциальных уравнений с фиксированным шагом используют следующие численные методы интегрирования: метод Эйлера, улучшенный метод Эйлера, метод Рунге-Кутты 4-ого порядка.

В работе [121] подробно описана процедура формирования модели нескорректированной следящей САУ. Для исследования САУ на устойчивость используется критерий Найквиста. Возможно использование в среде MATLAB и логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик.

Оптимизация параметров корректирующего устройства происходит при помощи инструментального пакета NCD-Blockset, которые предоставляет в распоряжение пользователя графический интерфейс для настройки параметров динамических объектов, обеспечивающих желаемое качество переходных процессов. Задание ограничений на динамику системы осуществляется в визуальном режиме путем задания коридора, в пределах которого должен находиться выходной сигнал САУ. На базе этих ограничений NCD-Blockset автоматически генерирует задачу конечномерной оптимизации [121]. Эта задача решается с привлечением процедуры квадратичного программирования из пакета Optimization Toolbox [124]. Ход оптимизации контролируется на экране с помощью отображения графика контролируемого процесса и текущих значений минимизируемой функции. По окончанию процесса оптимизации, оптимальные значения настраиваемых параметров корректирующего устройства сохраняются в рабочем пространстве MATLAB.

Optimization Toolbox включает программы широко известных методов минимизации линейных и нелинейных функций. Эти программы могут быть использованы для решения сложных задач в различных областях науки и техники. В пакет включены версии традиционных и новейших алгоритмов оптимизации, в том числе безусловная оптимизация, условная, многокритериальная, методы линейного и квадратичного программирования. Ведущий раздела- Трифонов А.Г. - доктор технических наук, главный научный сотрудник лаборатории моделирования Объединенного института энергетических и ядерных исследований Национальной Академии наук Беларуси. Материалы раздела Optimization Toolbox, книги по методам оптимизации, в том числе и работа Трифонова А.Г. ''Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения'' приведены в Интернете на сайте MATLAB. Exponenta.ru.

6.4 Параметрический синтез САУ средствами МВТУ 3.5

Программный комплекс '' М оделирование В Т ехнических У стройствах'' (МВТУ), разработанный сотрудниками Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана [117,118] позволяет проводить моделирование, частотный анализ и оптимизацию САУ, аналогично тому, как это осуществляется с помощью инструментальных систем LabVIEW [106-110] и MATLAB [111-116].

Рассмотрим процесс проектирования САУ на примере нахождения оптимальных параметров корректирующего устройства следящей системы [119] средствами программного комплекса МВТУ. Подробное описание этого процесса дано в [122, 123].

На первом этапе с помощью элементов МВТУ и линий связи формируется структурная схема исследуемой нескорректированной САУ. После ввода параметров звеньев(коэффициентов усиления и постоянных времени) осуществляется формирование параметров, необходимых для моделирования: шаг интегрирования, минимальный шаг интегрирования, численный метод интегрирования (например, метод Эйлера) и др. При выполнение следующего этапа происходит открытие графического окна и изменение его свойств (масштабы по осям X и Y, минимальные и максимальные значения выходной координаты и др.). После редактирования графического окна производим расчет переходного процесса нескорректированной САУ, убеждаемся, что система неустойчива и нуждается в коррекции. Отметим, что для моделирования системы, помимо метода Эйлера, могут быть использованы 4-х точечный метод Рунге-Кутты, неявные метод Эйлера, метод Адамса и др. [2, 117,118].

Средствами МВТУ может быть проведен анализ амплитудно-фазовых частотных характеристик нескорректированной системы. После назначения параметров частотного анализа (значение начальной и конечной частот, количество точек вывода и др.) получаем, в зависимости от задания, либо логарифмические частотные характеристики, либо годограф Найквиста, либо кривую Михайлова. На этапе оптимизации параметров корректирующего устройства вводим в блок-схему исходной САУ корректирующее звено и присваиваем его параметрам начальные значения полученные в результате ''ручного'' счета с использованием ЛАЧХ [125]. Далее формируя локальные критерии оптимизации (перерегулирование и время регулирования ) в соответствии с [122], получаем структурную схему скорректированной системы с соответствующими ''измерителями''. После чего с помощью диалоговых окон задаем численные занчения параметров и критериев оптимизации. Диалоговое окно ''Параметрическая оптимизация'' служит также для задания метода поиска, вида критерия оптимальности, числа итераций. После назначения метода численного интегрирования и его параметров запускается процесс оптимизации[122,123]. При нажатии клавиши ''Результаты оптимизации'' получаем искомые параметры корректирующего устройства и график переходного процесса в скорректированной системе.

После этого пользователь принимает решение либо об окончании процесса поиска, либо о продолжении расчетов с измененной структурой корректирующего устройства, другими исходными параметрами, другим численным методом оптимизации и др.

Вышеописанный программный комплекс МВТУ [117,118] позволяет оперативно решать подобного рода задачи, встречающиеся как в учебном процессе, так и в научных исследованиях.

Заключение

В данной работе автор, руководствуясь собственным опытом решения задач оптимизации, постарался достичь следующих целей, для чего, собственно и предполагался выпуск данного конспекта лекций по дисциплине ''Автоматизация проектирования систем и средств управления'':

– ознакомление с постановкой задач оптимизации и методами их решения;

– получение практических навыков решения оптимизационных задач на компьютере, как с использованием программ собственной разработки, так и с использованием программных комплексов, разработанных крупными корпорациями;

– формирование представлений о сравнительной эффективности рассмотренных методов оптимизации и границах их применения.

Насколько автору это удалось, судить Вам, дорогой читатель.

Автор будет благодарен замечаниям и дополнениям, высказанными читателями данного конспекта лекций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П, Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. – 348 с.

2. Сольницев Р. И. Автоматизация проектирования систем управления М.: Высшая школа, 1991.-335 с.

3. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967.-267с.

4. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. – 534 с.

5. Батищев Д. И. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Совесткое радио, 1975. – 216 с.

6. Алгоритмы оптимизации проектных решений./ Под ред. Половинкина А. И./ М.: Энергия, 1976, -265 с.

7. Геминтерн В. И., Каган Б. М. Методы оптимального проектирования. М.: Энергия, 1980. – 160 с.

8. Минимизация в инженерных расчётах на ЭВМ. Библиотека программ. /С. Ю. Гускин и др. М.: Машиностроение. 1981. -120 с.

9. Страхов С. В. и др. Динамика АСЭ с пневномеханическим приводом постоянной скорости.- Электричество, 1970, №11, с. 31-35.

10. Страхов С. В., Трубачёв В. Т. Динамика автономной системы с гидромеханическим приводом постоянной скорости.- Электричество, 1972 №1, с. 34-37.

11. Дехтяренко В. А., Своятыцкий Д. А. Методы многокритериальной оптимизации при проектировании. Препринт ИК АН УССР, Киев.- 1976.

12. Монахов О. И. Выбор весовых коэффициентов в задаче поиска параметров эквивалента. Труды МИИТа, 1975, вып. 498, с. 23-29.

13. Страхов С. В. и др. Исследование возможностей применения методов нелинейного программирования для синтеза оптимальных регуляторов в автономных энергосистемах- «Известия ВУЗов. Электромеханика», 1980, №12, с. 1296-1302.

14. Лазарев И. Б., Валуйских В. П. Экспериментальное сравнение алгоритмов случайного поиска.- «Автоматика и вычислительная техника», 1974, №2,. с. 57-60.

15. Растригин Л. А., Рипа К. К. Сопоставление методов наискорейшего спуска и случайного поиска с обучением — В сб.: «Проблемы случайного поиска», Рига, «Знание», 1986, с. 87-92.

16. Захаров В. В., Филипенко Н. М. Сравнение случайного поиска со схемой скорейшего спуска на тестовых функциях.- «Автоматика и вычислительная техника», 1972, №1.

17. Зак Ю. А., Кондращин Г. П., Ленин А. П. Исследование алгоритмов случайного поиска в задачах оптимизации сложных систем.-В сб.: «Проблемы случайного поиска», Рига, «Знание», 1973, вып. 2, с. 131-150.

18. Гурин Л. С. К вопросу о сравнительной оценке различных методов оптимизации.- «Автоматика и вычислительная техника», 1965, №10.

19. Чалый Г. В., Билинкис П. Г., Непомнящий М. А. Выбор эффективного метода оптимизации электрических машин с помощью ЭВМ.- В кн.: «Электроэнергетика и автоматика», Кишинёв, 1974, вып.20.

20. Антамошкин А. Н. О быстродействии алгоритмов случайного поиска. – «Автоматика и вычислительная техника», 1975, №3, с. 38-44.

21. Талалай А. М. К сравнению различных реализаций методов градиента и статистического градиента.- «Автоматика и вычислительная техника», 1975, №6.

22. Терзян А. А. Сопоставительный анализ методов поисковой оптимизации в классе задач синтеза электрических машин.- В кн.: «Проблемы случайного поиска», вып. 7. Рига.: Знание, 1978, с. 214-237.

23. Аветисян Д. А., Соколов В. С., Хан В. х. Оптимальное проектирование электрических машин на ЭВМ. М.: Энергия, 1976. – 208 с.

24. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной оптимизации. – М.: Мир, 1972. – 240 с.

25. Растригин Л. А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974. – 630 с.

26. Растригин Л. А. Статистические методы поиска.- М.: Наука, 1968.- 376 с.

27. Растригин Л. А. Случайный поиск с линейной тактикой.- Рига.: Знание,1971.- 192 с.

28. Растригин Л. А. Методы статистической оптимизации.-Рига.: Знание, 1968.

29. Растригин Л. А. Случайный поиск в процессах адаптации.-Рига.: Знание, 1973.- 132 с.

30. Теория и применение случайного поиска. Под ред. Растригина Л. А.-Рига.: Знание, 1969.- 309 с.

31. Алгоритмы и программы случайного поиска. Под ред. Растригина Л. А.-Рига.: Знание, 1969.- 374 с.

32. Применение методов случайного поиска в САПР. Таллин.: Валгус, 1980, ч. 2.

33. Каган Б. М., Даниленко С. Е. Применение метода случайного поиска с обучением при оптимальном проектировании асинхронных двигателей.- В кн.:«Автоматика и вычислительная техника», Рига.: Знание,1966, вып. 13, с 169-172.

34. Растригин Л. А., Тарасенко Г. С. Об одном алгоритме случайного поиска.- В сб.: Проблемы случайного поиска, вып. 3, Знание,1974, с. 108-112.

35. Трахтенберг В. С. Алгоритм и программа многомерной экстраполяции.- В кн.: Алгоритмы и программы случайного поиска.-Рига.: Знание,1969, с. 223-241.

36. Фурунжиев Р. Г. Автоматизированное проектирование колебательных систем. – Минск.: Высшая школа, 1977. – 451с.

37. Вишневский Б. Л., Григорян В. Г. Применение алгоритмов поиска для аппроксимации экспоненциальных временных характеристик динамических систем.- В сб.: «Вопросы теории автоматического управления», Изд. ЛГУ, вып. 3, 1977, с. 61-66.

38. Захаров В. В., Крутиков В. Н. Повышение эффективности алгоритмов случайного поиска посредством их включения в систему экстраполяции. В сб.: «Проблемы случайного поиска», вып. 7, Рига.: Знание,1978, с. 207-213.

39. Севриткин К. П. Стандартная программа оптимизации многопараметрических систем методом случайного поиска.- В кн.: Алгоритмы и программы случайного поиска.- Рига.: Знание, 1968, с. 85-95.

40. Ларин А. Г. и др. Машинная оптимизация электронных узлов РЭА.- М.: Сов. Радио, 1978.- 192 с.

41. Пашкеев С. Д., Минязов Р. И., Могилевский В. Д. Машинные методы оптимизации в технике связи. Учебное пособие для ВУЗов, - М.: Связь, 1976.- 272 с.

42. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 238 с.

43. Гельфанд И. М., Цетлин М. Л. Принцип нелокального поиска в системах автоматической оптимизации. ДАН СССР, т. 197, 1961, №2, с. 295-298.

44. Волынский Э. И., Филатов Г. В. К вопросу об адаптации шага в алгоритмах случайного поиска.- Автоматика и вычислительная техника, 1974, №4, с. 66-71.

45. Павлов В. Ю., Солдатов В. Е. О решении одного класса судостроительных задач оптимизации. Труды Ленинградского кораблестроительного института, вып. 97, с. 110-113.

46. Теория автоматического управления. Ч. 2. Под ред. Воронова А. А. М.: Высшая школа, 1977.- 228с.

47. Короп В. Ф. Локально-глобальный поиск коллективом автоматов Буша-Мостселлера.- «Автоматика и вычислительная техника», 1975, №2, с. 26-29.

48. Черноусько Ф. Л. Об оптимальном поиске экстремума унимодальных функций. – Журнал вычисл. мат. и мат. физ., 1970, т. 10, № 4, с. 922-934.

49. Черноусько Ф. Л. Об оптимальном поиске минимума выпуклых функций. – Журнал вычисл. мат. и мат. физ., 1970, т. 10, № 6, с. 1355-1366.

50. Захаров В. В. Тестовые задачи оптимизации. В кн.: Тезисы докладов Всесоюзного научно-технического семинара. «Численные методы нелинейного программирования». Харьков, 1979 ч. II.

51. Норенков И. П., Маничев В. Б. Системы автоматизированного проектирования электронной и вычислительной аппаратуры. М.: Высшая школа. 1983. – 272 с.

52. Чурилов А. И., Кулик Е. Г. Применение алгоритмов случайного поиска для решения нелинейных уравнений, описывающих электронные схемы. - Автоматика и вычислительная техника, 1975, №3, с. 52-57.

53. Шкварцов В. В., Орленко Н. Н. Опыт экспериментального сравнения алгоритмов случайного поиск. В кн.: Проблемы статистической оптимизации. Рига, 1968, с. 93-98.

54. Оганесян Э. В., Степанян Э. А. О сравнительной оценке различных алгоритмов случайного поиска. В кн.: Методы статистической оптимизации. Рига. 1968. с. 111-122.

55. Терзян А. А. Автоматизированное проектирование электрических машин. – М.: Энергоатомиздат, 1983. -255 с.

56. Растригин Л. А., Рипа К. К., Тарасенко Г. С. Адаптация случайного поиска. Рига: Знание, 1978. – 242 с.

57. Сухарев А. Г. Оптимальный поиск экстремума.- М.: Московский гос. университет,1975.-100с.

58. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир. 1974. – 363 с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: