Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Однопериодная модель




 

Предположим, что инвестор в момент t = 0 покупает актив A по цене S 0. За единицу времени от t = 0 до t = 1 стоимость актива может повыситься или понизиться. Пусть u и d – повышающий и понижающий коэффициенты, r – безрисковая процентная ставка и выполняется следующее условие:

d < 1 + r < u.

 

Инвестор хочет избежать риска, связанного с изменением стоимости актива к моменту t = 1. С этой целью он продает некоторое количество k (быть может, дробное) опционов

«колл» на актив A со сроком исполнения t = 1. Это означает, что инвестор принимает на себя обязательство продать k активов A в момент времени t = 1 по цене исполнения X. Требуется определить значение k и величину премии за опцион (в предположении, что транзакционные издержки отсутствуют).

Введем следующие обозначения (рис. 2):

 

S 0 – цена актива в момент времени t = 0;

 

S 1(u) = S 0 u – цена актива в момент времени t = 1 в случае повышения;

S 1(d) = S 0 d – цена актива в момент времени t = 1 в случае понижения;

C 0 – цена опциона в момент времени t = 0 (премия за опцион);


 

 

X – цена исполнения опциона;

 

C 1(u) = max{0, S 0 uX } – цена опциона в момент вре-

 

мени t = 1 в случае повышения;

 

C 1(u) = max{0, S 0 dX } – цена опциона в момент вре-

 

мени t = 1 в случае понижения.

 


S 1(u) = S 0 u


C 1(u) =

= max{0, S 0 uX }


 

 

S 0 C 0

 


 

S 1(d) = S 0 d


C 1(d) =

= max{0, S 0 dX }


 

Рис. 2

 

 

На покупку актива инвестор затратил S 0, от продажи k опционов он получил kC 0. В результате он стал владельцем портфеля, состоящего из одного актива и k опционов. На формирование этого портфеля затрачено S 0 – kC 0. Величина S 0 – kC 0 составляет стоимость портфеля в момент времени t = 0. Если бы эта сумма была размещена под безрисковую процентную ставку, то к моменту времени t = 1

она бы выросла до

 

(1 + r)(S 0 – kC 0). (1)

 

С другой стороны, стоимость портфеля в момент времени

 

t = 1 составит S 1 – kC 1, т. е.

 

S 1(u) – kC 1(u)


 

 


в случае повышения и


 

S 1(d) – kC 1(d)


 

в случае понижения. Если подобрать k так, чтобы выполнялось

 

равенство

 

S 1(u) – kC 1(u) = S 1(d) – kC 1(d), (2)

 

то портфель окажется безрисковым. Из (2) находим:

 

kS 1(u) − S 1(d). (3)

C 1(u) − C 1 (d)

 

При таком k стоимость портфеля в момент времени t = 1

 

окажется равной

 

S 1(d) C 1 (u) − S 1(u) C 1(d). (4)

C 1(u) − C 1 (d)

Так как портфель дает гарантированный доход, то в соответствии с принципом безарбитражности (прибыль без риска невозможна) его стоимость (4) должна совпадать наращенной суммой (1). Таким образом, получаем следующее равенство:

 


S (u) − S


(d)


S (d) C


(u) − S


(u) C


(d)


(1 r) S 0 − 1 1 C 0 =


1 1 1 1.


C 1(u) − C 1 (d) 


C 1(u) − C 1 (d)


 

После несложных преобразований, учитывая, что S 1(u) = S 0 u

 

и S 1(d) = S 0 d, находим:

 


 
C 1


1 rd


 

C 1 (u


)  u − (1  r)


 

C 1(d


). (5)


 

Полагая


1 r


ud


ud


 

 


p  1 rd,

ud


qu − (1  r), (6)

ud


 

формуле (5) можно придать следующий вид:

 


 

C 0 


1 r


 

pC 1


 

(u)  qC 1


 

(d). (7)


 

 

Пример. Пусть текущая стоимость актива равна 100 рублей. За год его стоимость может повыситься на 20% или понизиться на 15%. Безрисковая годовая ставка равна 10%. Цена исполнения опциона «колл» со сроком исполнения в конце года равна 105 руб. Определим величину премии за опцион.

Если цена актива вырастет и составит 1,2⋅100 = 120 руб., то владелец опциона воспользуется своим правом на покупку актива за 105 рублей. Следовательно, цена опциона C 1(u) составит 120 –105 = 15 руб.

Если цена актива понизится и составит 0,85⋅100 = 85 руб., то владелец опциона свое право на покупку актива за 105 рублей использовать не станет, и цена опциона C 1(d) будет равна нулю.

В соответствии с (6) и (7) находим коэффициенты:

 


p  1,1−0,85

1,2 − 0,85


 

≈ 0,714,


q  1,2 − 1,1

1,2 − 0,85


 

≈ 0,286


 

 

и премию за опцион:

 


 

C 0 


1,1


 

0,714 ⋅15  0,286 ⋅ 0  9,74


 

руб.


 

 

По формуле (3) можно найти число опционов, которые нужно продать, чтобы хеджировать риск, связанный с изменением цены актива за год:

k  120 − 85 ≈2,33.

15 −0

 

Предположим, в начале года инвестор покупает 30 единиц актива A, заплатив 3000 рублей. Одновременно он продает 70 опционов с ценой исполнения 105 рублей. От продажи опционов инвестор получает 9,74⋅70 = 681,80 руб., которые размещает под 10%. К концу года сумма, полученная от продажи опционов, вырастет до 749,98 рублей.

Если стоимость актива к концу года вырастет, то, продав купленные им 30 единиц актива, инвестор может получить

120⋅30 = 3600 руб. При этом ему придется выполнить обязательства по 70 опционам, купив 70 единиц актива по

120 рублей. и продав их владельцам опционов по 105 рублей.

 

На это придется потратить 120⋅70 – 105⋅70 = 1050 руб.

 

Доход на конец года составит в этом случае

 

49,98 + 3600 – 1050 = 3299,98 руб.

 

Если стоимость актива к концу года понизится, то, продав купленные им 30 единиц актива, инвестор может получить

85⋅30 = 2550 руб. Обязательств по опционам не возникнет, так что и в этом случае доход на конец года составит 749,98 + 2550 = 3299,98 руб.


 

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных