Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: Если , то ряд расходится.

В качестве «динамической» переменной вместо «икса» у нас выступает . Букву можно заменить другой буквой, и это не страшно, однако есть разница с содержательной точки зрения. Пределы с «иксом» называют пределами функций, а пределы с переменной «эн» называют пределами числовых последовательностей. Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод: ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Необходимый признак сходимости ряда довольно часто встречается в практических заданиях:

3.2)

Сходимость рядов. Признаки сравнения   Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов. Признаки сравнения рядов Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки: · Если сходится, то также сходится; · Если расходится, то также расходится. Предельные признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки: · Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся; · Если , то ряд сходится, если сходится ряд ; · Если , то ряд расходится, если расходится ряд . Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

3.3)

Признак Д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: