Предел функции в точке. Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 .

Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x ₀.

Число A называется пределом функции f (x) при x → x ₀ (или в точке x ₀), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < | x − x ₀| < δ, справедливо неравенство
| f (x) − A | < ε, т.е.

f(x) = A ÜÞ " ε > 0 $ δ > 0: 0 < | x − x ₀| < δ Þ | f (x) − A | < ε.

Используем понятие окрестности и учтем, что

0 < | x − x ₀| < δ ÜÞ x Î

_δ (x ₀) и | f (x) − A | < ε ÜÞ f (x) Î O_ε (A).

(Точка над символом окрестности указывает, что это проколотая окрестность.)

Теперь определение предела функции в точке можно представить в виде

1. Арифметические свойства предела функции.
Пусть функции f и g определены на интервале (a, b), кроме быть может точки x ₀. Если существует пределы

^{и ,}

то существуют пределы в левых частях равенств и имеют место эти равенства:

^a.
б.

Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.

9. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Функция f(x) непрерывна в точке , принадлежащей области определения функции, если для любой последовательности значений аргумента, принадлежащей области определения и сходящейся к точке , последовательность соответствующих значений функции сходится к f( ).

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

10.Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: