Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C (x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C (x).
Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y (x ₀) = y ₀, то такая задача называется задачей Коши.

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y (x ₀) = y ₀.

9. Дифференциальное уравнение n-го порядка. Дифференциальное уравнение n-го порядка, допускающие понижение порядка и способ их решения.

Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид

где коэффициенты a ₁(x), a ₂(x),..., a_n (x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [ a, b ].
Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор L:

где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты a_i (x) и сложения.
Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами:

 L [ y ₁(x) + y ₂(x)] = L [ y ₁(x)] + L [ y ₂(x)];

 L [ Cy (x)] = CL [ y (x)],

где y ₁(x), y ₂(x) − произвольные функции, дифференцируемые n − 1 раз, C − любое число.
Из свойств оператора L следует, что если функции y ₁, y ₂,..., y_n являются решениями однородного дифференциального уравнения n -го порядка, то функция вида

где C ₁, C ₂,..., C_n − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции y ₁, y ₂,..., y_n образуют фундаментальную систему решений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: