Уравнение прямой проходящей через данную точку и перпендикулярную данному вектору

M₀M=

Общее уравнение прямой

Вопрос 2.

Эллипс.
Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.
Каноническое уравнение эллипса.
Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

.
где (a и b – положительные действительные числа)

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса, а число b – его малой полуосью.

Свойства эллипса:
Фокальное свойство. Если F ₁ и F ₂ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F ₁ X) равен углу между этой касательной и прямой (F ₂ X).
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать как
фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружность на плоскость.
Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Вопрос 3.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2 c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a ² + b ² = c ².

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x ² - y ² = a ².

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

Вопрос 4.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y ² = 2 px.

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы

Эксцентриситет параболы e = 1.

y ² = 2 px (p > 0)

Вопрос 5.

Векторы:

Множество чисел u₁…u_n пронумерованы и расставлены в порядке возрастания их номеров.

N-мерным вектором называется последовательность из n чисел эти числа координаты вектора.

Число n координат вектора – размерность вектора.

Обозначение:

A=

A=

Специальные векторы:

Единичный вектор:

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

a_ji - элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

Матрици специального вида:

– квадратная

- прямоугольная

Верхнетреугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Нижнетреугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Общий вид треугольных матриц:

Операции над матрицами:

Пусть и — матрицы одинаковых размеров . Матрица тех же размеров называется суммой матриц и , если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц и : . Сумма матриц обозначается . Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно

Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, что и матрица , каждый элемент которой равен произведению числа на соответствующий элемент матрицы A.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.

Для любых матриц одинаковых размеров и любых чисел справедливы равенства:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. существует нулевая матрица (тех же размеров, что и ): ;

4. существует матрица , противоположная матрице ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Вопрос 6.

если число строк 2 матрицы = числу столбцов 1 матрицы – это условие согласованности для умножения.

Свойства умножения матриц:

Пусть – любое число, A,B,C - произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:

1. ; (ассоциативность умножения матриц)

2. ; (дистрибутивность умножения)

3. ; (дистрибутивность умножения)

4. .

5. и AB = тогда А и В делители нуля.

Пример:

Не коммутативность умножения:

Следовательно ч.т.д.

Вопрос 7.

Если поменять строки и столбцы A то A^т – операция транспонирования

Свойства транспонирования:

1.

2.

3.

Вопрос 8.

Определитель – это отображение всех возможных квадратных матриц во множнство вещественных чисел.

Свойства:

1. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ) det A×det B.

2. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

3. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки).

4. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.

5. Определитель равен 0 если он имеет две равные строчки и столбца.

6. Множитель можно вынести за знак определителя.

Способы нахождения определителя:

Способ треугольников для матрицы 3X3.

Универсальный метод нахождения определителя mXn.

Вопрос 9.

Любой n-мерный вектор x с координатами x₁x₂…x_n называется решением линейного уравнения если при подстановке его координат уравнение обращается в верное множество решений.

Классификация ЛУ по количеству решений:

В общем случае имеет вид:

– постоянные коэффициенты.

Тогда решением СУ называется n-мерный вектор X=(x₁,x₂,…,x_n) который является решением каждого из уравнений системы.

Две СУ называются равносильными если они имеют одно и тоже множество решений.

СУ называется совместной если она имеет хотя бы одно решение если не одного не совместна.

СУ – определена если имеет единственное решение.

СУ – неопределённая если она имеет бесконечное множество решений.

Метод Крамера (решение ЛУ с помощью определителя)

Пусть определитель матрицы A, пусть обозначим |A| который получится из A если j столбец заменить на столбец в правой части

т.е. если то решение единственное X=(x₁,x₂,…,x_n) вычисляется по формуле:

– формула Крамера

Если

a)

b) .

Вопрос 10.

X – разрешённая неизвестная для СУ если она входит в одно уравнение с коэффициентом +1, а в другие с коэффициентом 0.

Разрешённые неизвестные входящие в набор называются базисными, а не входящие свободными.

Общим решением СУ называется совокупность выраженных разрешённых неизвестных через свободные члены и неизвестные.

Частным решением СУ – которое получается из общего при конкретных значениях свободных переменных.

Базисным решением СУ – частное решение которое получается из общего при нулевых значениях переменных.

Общее решение – это набор формул, с помощью которых можно получить любое частное решение.

Алгоритм метода Гаусса:

Пусть есть система:

Метод Гаусса является прямым методом т.е. позволяет найти точное решение для невырожденной матрицы за вполне определенное количество операций.

Состоит из двух этапов, прямой ход - расширенная матрица приводится в треугольному виду, как на рисунке ниже:

Необходимым условием является то, чтобы на диагонали матрицы не было нулевых элементов.

А затем обратный ход - когда находятся все неизвестные вектора X, начиная с последнего.
Рассмотрим более подробно прямой ход.
1) Разделим первую строку расширенной матрицы на :

2) Вычтем из второй строки расширенной матрицы произведение

на измененную первую строку матрицы:

3) Затем вычтем произведение первой строки на

из третьей,и так далее по строкам, пока матрица не примет вид:

4) Затем процесс повторяется - уже делением второй строки на a₂₂^*, столбец за столбцом, матрица приводится к верхнетреугольному виду.
После чего начинается обратный ход, тривиальным образом находя неизвестные X:

Вопрос 11.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1. (A-1)^-1 = A;

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

Вопрос 12.

Пример вывода формул:

(Использую Бином Ньютона:

)

Вопрос 13.

Теорема Ферма

1.

2.

3.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: