Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два множества: А = {2,4,6,8} и В = {5,6,7,8,9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А Ç В. Таким образом, по определению,

А Ç В = {х ½ х Î А и х Î В}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 7).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят,

что их пересечение пусто и пишут: А Ç В=Æ.

рис.7

Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А Ç В,

достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат

множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы. А как быть, если множества заданы характеристическими свойствам и своих элементов?

Из определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества А Ç В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Характеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свойство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными натуральными и двузначными числами». Таким образом, множество А Ç В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 Î А Ç В, поскольку число 24 четное и двузначное.

Рассмотрим теперь случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А Ç В = В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества

А Ç В будет таким, как и свойство элементов множества В.

Упражнения

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие утверждения:

а) 5 Î А Ç В; б) 7Ï А Ç В.

2. Известно, что х Î А. Следует ли из этого, что х Î А Ç В?

3. Известно, что х Î А Ç В. Следует ли из этого, что х Î А?

4. Найдите пересечение множеств А и В, если:

а) А = {а, b, с, d, е,¦ },B = {b,e,¦,k}

б) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В = {17, 26, 58};

в) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В = {17, 26, 58, 5, 39, 81}.

5. Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

6. М - множество однозначных чисел, Р - множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит пересечение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

7. А- множество точек окружности, В - множество точек прямой l. Из скольких элементов может состоять пересечение данных множеств? Может ли оно быть пустым?

8.Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением:

а) был треугольник;

б) был отрезок;

в) была точка.

9. Используя координатную прямую, найдите пересечение мно­жеств решений неравенств, в которых х - действительное число:

а) х>-2 и х >0; в) х≥5 и х<-7,5;

б) х>-3,7 и х≤4; г )-2<х<4 и х≥-1; д) -7 ≤ х ≤ 5 и -6 ≤ х ≤ 2.

10. Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению множеств С и Б, если:

а) С-множество ромбов,

D - множество прямоугольников,

б) С - множество равнобедренных треугольников,

Б - множество прямоугольных треугольников.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: