B - число подмножеств, то частное а:b - это число элементовв каждом подмножестве.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида: «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число как установлено выше, можно найти при помощи деления - 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи -в каждой коробке по 4 карандаша.

Если дана задача: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?», - то для решения выбор действия деления можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления - 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - понадобится 4 коробки.

Используя теоретико–множественный подход к действиям над целыми неотрицательными числами, можно дать теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число: если частные а: с и b: с существуют, то (а + b):с = а: с + b: с. Пусть а = п(А) и b = п(В), причем А Ç В = 0. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение эти множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество A состоит из а: с подмножеств, а множество В- из b: с подмножеств, то А È B состоит из а: с + b: с подмножеств. Это и значит, что (а + b): с =а: с+b: c.

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассматривается как число равночисленных подмножеств в разбиении множеств А и В.

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть и смысл отношений «больше в» и «меньше в», с которыми мл школьники встречаются при решении текстовых задач.

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если а: b = с, то можно говорить, что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз» И чтобы, узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

Если же а=п(А), b = п(В) и известно, что «а меньше b в с раз» то поскольку а < b, то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А, но так как а меньше b в с раз, то множество В можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству А

Так как с - это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве - а элементов, то с=b: a

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в c раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растут на участке?»

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что п(А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т. е. п (В).

Так как в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (рис. 116). Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего в множестве В будет 3 + 3 или 3 × 2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b с остатком - это значит найти такие натуральные целые неотрицательные числа q и r, что а=bq+ r, где 0 £ r < b.

Пусть а = п(А) и множество А разбито на множества А₁, А_2,…, A_q, R так, что множества А_1, А₂,..., А_q равночисленны, а множество R содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А ₁, А₂,..., А_q Тогда, если п(А ₁ ) =п(А₂) =... = п(А_q)=b, а п(R) = r, то а=bq + r, где 0 £ r £ b, причем число q равночисленных множеств является неполным частным при делении а на b, а число элементов в R - остатком при этом делении.

Упражнения

1. Используя теоретико-множественный смысл частного, объясните смысл выражений:

а) 10:2; 6)5:1; в) 5:5.

2. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи деления.

а) 15 редисок связали в пучки по 5 редисок в каждом. Сколько получилось пучков?

б) 15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый?

3. Назовите отношения, которые рассматриваются в задачах, решите задачи арифметическим методом, выбор действий обоснуйте.

а) Для украшения елки девочка вырезала 4 звездочки, а флажков в 3 раза больше. Сколько флажков вырезала девочка?

б) У Коли в 4 раза больше открыток, чем у Вовы. А у Лены их на 20 меньше, чем у Коли. Сколько открыток у Лены, если у Вовы их 7?

в) Миша поймал 48 окуней, Саша - на 6 меньше, чем Миша, а Коля-в 7 раз меньше, чем Саша. Сколько окуней поймали все мальчики?

4. Какое правило является обобщением различных арифметических способов решения задачи.

а) В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?

б) В лапту играли 8 девочек и 6 мальчиков. Они разделились команды. Сколько человек было в каждой команде?

5. Обоснуйте с теоретико-множественной позиции выбор действия при решении задачи.

В мастерской было 7 колес для велосипедов. При ремонте поставили на каждый велосипед по 2 колеса. На сколько велосипедов поставили колеса и сколько колес осталось в мастерской?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: