Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Смысл натурального числа, полученного в результат измерения величины. Смысл суммы и разности




Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезка x1, х2,..., хn, если он является их объединением и никакие два из ни имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х1, x2,, хn и пишут х = х1 Å х2 Å ... Å хn.

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины X данного отрезка при единице длины Е.

Пишут: Х = а×Е или а = тЕ(Х).

Например, отрезок х (рис. 120) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е. Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х – буквой X, то можно написать, что Х = 6 Е или 6 = тЕ(Х).

 

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

1. При переходе к другой единице длины численное значение дли заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменны. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е1 (рис. 120), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так:

X = 3×Е1 или тЕ1 (X) = 3.

2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок y – из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки x и y равны.

Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.

Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть т(Y) =а,т(Z) =b при единице длины Е Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, т(Х) = а+b =m(Y)+m(Z).

Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и b.

а + b= тЕ(Y) + тЕ(Z) =тЕ(Y + Z).

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины – масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т. е. получить выражение 7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей.

Из этой теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z Å у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b.

а - b= тЕ(Х)-тЕ(Y)= тЕ(Х- Y).

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили если капусты было 3 кг?»

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы капусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания:7-3. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

В задаче речь идет о двух величинах - массе моркови и массе картофеля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.

Если построить вспомогательную модель задачи (рис. 121), то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс-слагаемых. Получаем выражение 3 + 2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

Упражнения

1. Какой смысл имеет натуральное число 7, если оно получено в результате измерения:

а) длины отрезка;

б) площади фигуры;

в) массы тела?

2. Верно ли, что при увеличении единичного отрезка в k раз соответствующие численные значения длин отрезка уменьшаются столько же раз?

3. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи сложения:

а) Когда из ящика взяли 4 кг яблок, то в нем осталось 6 кг. Сколько килограммов яблок было в ящике первоначально?

б) На пошив кофты израсходовали 2 м ткани, а на платье на 3 м больше. Сколько метров ткани израсходовали на платье?

4. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи вычитания:

а) От ленты длиной 5 м отрезали 2 м. Сколько метров ленты осталось?

б) С первого участка собрали 10 мешков картофеля, а со второго
3 мешка меньше. Сколько мешков картофеля собрали со второго участка?

5. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:

а) Мама купила 5 кг огурцов, 2 кг свеклы и помидоры. Сколько
килограммов помидоров купила мама, если масса всех овощей 12 кг?

б) На одной полке 30 книг, на другой на 7 книг меньше. Сколько
книг на двух полках?

в) От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, а потом еще
4 дм. Сколько дециметров проволоки осталось?

г) За лето первоклассники собрали 8 кг лекарственных трав, второклассники на 4 кг больше первоклассников, а третьеклассники на 3 кг меньше второклассников. Сколько килограммов лекарственных трав собрали третьеклассники?






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных