Этапы решения задачи на построение

Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1. Анализ. На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности, алгоритма, состоящего из основных или элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической задачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопровождается чертежом, иллюстрацией, помогающими установить связи и зависимости между данными и искомыми фигурами.

2. Построение. Этот этап решения представляет собой непосредственную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения.

3. Доказательство. Его цель - доказательство того, что построенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

4. Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с которой связывалось построение).

Проиллюстрируем эти этапы на конкретном примере.

Задача. Построить параллелограмм по основанию а, высоте h и одной из диагоналей d.

Согласно условию, данными являются отрезки, представляющие основание, высоту и диагональ параллелограмма (рис. 155). Все эти фигуры считаются уже построенными, и поэтому объяснение не требуется.

1.Анализ. Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что искомый параллелограмм АВСD уже построен (рис. 156). Отмечаем на чертеже данные элементы: ВС = а, ВН = h_a

Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма. Отмечаем, что противоположные стороны АD и ВС лежат на параллельных прямых расстояние между которыми равно высоте к. Поэтому можно построить треугольник АВD и затем достроить его до параллелограмма АВСD. Получим следующий алгоритм построения искомой фигуры:

1) Строим параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h друг от друга.

2) На прямой МK откладываем отрезок АD = а.

3) Из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность и находим точку В ее пересечения с прямой РQ.

4) На луче ВQ откладываем отрезок ВС = а.

5) Строим отрезки АВ и СD.

2.Построение. Все этапы алгоритма построения выполняем циркулем и линейкой непосредственно на чертеже с использованием заданных элементов (рис. 157).

3.

4.Исследование. Проверим возможность построения параллелограмма АВСD непосредственно по шагам алгоритма построения.

1) Параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h_а всегда можно построить, и притом единственным образом.

2) Построить отрезок АD - а на прямой МK также всегда можно, и притом единственным образом.

3) Окружность, проведенная из центра D радиусом А, будет иметь общие точки с прямой РQ только тогда, когда d > h_а. Если d = h_а, то получится одна общая точка В, если же d > h_а, то две общие точки В и В'.

4,5) Эти построения всегда однозначно выполнимы. Таким образом, решение возможно, если d ³ h_а. Если d ³ h_а, то задача имеет единственное решение, если же d > h_а, то два решения.

Упражнения

1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по известным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?

2. Даны отрезок p, два угла . Всегда ли можно построить треугольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы равны .

3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у которого известны его стороны а и b.

4. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:

а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;

б) квадрат со стороной р;

в) квадрат, диагональ которого задана.

5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?

6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.

7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.

8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по:

а)известным диагоналям;

б)известной стороне и одному из углов при его вершине;

в)углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла;

г)стороне и диагонали.

9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

10. По каким данным можно построить равнобедренный треугольник? Во всех возможных случаях выполните построения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: