Скалярное произведение двух векторов. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается через (, ). Если φ - угол между векторами и , то (, )= .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (, ) =(, ) (коммутативность).

2. (, )= (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. (, )= = .

5. (, ) = (, ) + (, ).

6. (, ) + (, ).

Действительно, пусть , причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы второго раздела следует, что , где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы , и . Но, , где φ - угол между векторами , и . Итак, . Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

1. ; 2. 3.

Пусть в некотором базисе заданы векторы = и = . Тогда, в ортонормированном базисе

(, ) =

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: