Точки разрыва и их типы

Определение 2. Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определена.

Определение 3. Точка х = а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но различные односторонние пределы. При этом разность

f(a + 0) - f(a - 0)

называется скачком функции в точке х = а.

Определение 4. Точка х = а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен .

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то функции f(x) ± g(x), f(x) • g(x), , где g(a) 0 также непрерывны в этой точке.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а, а функция g(y) непрерывна в точке у = b, b = f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х = а.

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

№ 11 Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе

Определение

Пусть множество — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью.

редел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространствепределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

№ 12

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: