ТОР 5 статей:
Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия
Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века
Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка
Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы
КАТЕГОРИИ:
- Археология
- Архитектура
- Астрономия
- Аудит
- Биология
- Ботаника
- Бухгалтерский учёт
- Войное дело
- Генетика
- География
- Геология
- Дизайн
- Искусство
- История
- Кино
- Кулинария
- Культура
- Литература
- Математика
- Медицина
- Металлургия
- Мифология
- Музыка
- Психология
- Религия
- Спорт
- Строительство
- Техника
- Транспорт
- Туризм
- Усадьба
- Физика
- Фотография
- Химия
- Экология
- Электричество
- Электроника
- Энергетика
Проекция вектора на ось
Пусть даны ось 
и вектор 
. Проектируя начало и конец вектора на ось 
, получим на ней вектор 
. Проекцией 
вектора 
на ось 
называется число, равное длине вектора 
, взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор 
в ту же сторону, что и ось или в противоположную. Проекция вектора 
на ось 
обозначается 
.
Свойства проекций:
1. 
, где 
‑ угол между вектором 
и осью 
;
2. 
;
3. 
.
Пусть 
– произвольная конечная система векторов; 
‑ произвольная система действительных чисел. Вектор 
называется линейной комбинацией векторов этой системы.
Из свойства проекций следует, что:
Линейная зависимость векторов
Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:
| (4.3) |
следует, что 
.
В противном случае векторы 
называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде 
, то говорят, что вектор 
линейно выражается через векторы 
.
Теорема. Векторы 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.
Следствие. Если векторы 
линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности, ни один из них не может быть нулевым.
Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора 
и 
линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинеарные векторы 
и 
линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например 
,линейно выражается через второй, т.е. 
, а это противоречит неколлинеарности и 
. Следовательно, 
и 
- линейно независимы.
Пусть 
и 
неколлинеарные векторы, 
‑ произвольный вектор компланарный векторам 
и 
. Отложим векторы 
и 
от одной точки 
, т.е. построим 
(Рис.4.3).
Рис. 4.3.
Из параллелограмма 
видно, что:
.
Следовательно, любые три компланарных вектора 
и 
линейно зависимы.
Любые три некомпланарных вектора 
и линейно независимы.
Если предположить, что три некомпланарных вектора 
и 
линейно зависимы, то один из них, например 
, линейно выражается через 
и 
, т.е. 
, а это говорит о том, что три вектора 
и лежат в одной плоскости, что противоречит условию.
Три вектора 
и 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.
Пусть векторы 
и в некотором базисе имеют координаты 
, 
и 
соответственно. Тогда векторы 
и линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы 
и 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа 
, неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:
.
Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов 
такой, что:
(4.4)
Если один из векторов, например, 
, является нулевым, то система 
окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при 
.
Теорема. Векторы 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.
Базис. Координаты вектора в базисе
Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор 
на этой прямой. Любой другой вектор 
, коллинеарный данной прямой, может быть выражен через вектор 
в виде 
.
Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора 
и 
этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор 
, компланарный плоскости, на которой выбран базис 
, может быть представлен в виде 
.
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс 
, вторая – осью ординат 
, третья – осью аппликат 
; точка 
‑ начало координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов 
, направленных соответственно по осям 
. Векторы 
называются основными или базисными ортами и определяют базис 
в трехмерном пространстве.
Различные формы произведения векторов. Условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
Скалярное произведение
Скалярными произведением 
двух векторов и 
называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: 
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. Если и ‑ ненулевые векторы, то 
тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если 
, то угол между 
и 
- острый, если 
, то угол - тупой;
5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. 
.
Следовательно, 
.
Векторное произведение
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор 
, длина и направление которого определяется условиями:
1. 
, где 
‑ угол между 
и 
;
2. 
перпендикулярен каждому из векторов 
и ;
3. 
направлен так, что кратчайший поворот от к 
виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда и 
коллинеарны. В частности, 
для любого вектора 
;
5. Если 
и 
неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма 
построенного на этих векторах, как на сторонах.
Смешанное произведение
Смешанным произведением тройки векторов , 
и 
называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение 
. Если рассматриваемые векторы , 
и 
некомпланарны, то векторное произведение 
есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор 
, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , 
и 
, и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.
Таким образом, смешанное произведение векторов 
(которое обозначается 
) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Знак произведение положителен, если векторы 
, 
и 
, образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к 
виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.
Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов , и 
: для того, чтобы векторы , 
и 
были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля.
Определение.
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.
Условие ортогональности векторов.
Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.
a · b = 0
Определение.
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1.
Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2.
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны. N.B. Условие 2 неприменимо если один из компонентов вектора равен нулю.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: