ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Элементы теории множеств и математической логики. Действительные числа. Грани. Понятие функции. Обратная функция.Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление. Наиболее распространенные числовые множества: ‑ множество натуральных чисел; ‑ множество целых чисел; – множество рациональных или дробных чисел; ‑ множество действительных чисел. Кантор описывает множество следующим образом: Множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества . Грани. Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты. Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом. Некоторое непустое подмножество множества действительных чисел называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число такое, что выполняется неравенство (). Всякое число с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества . Непустое подмножество множества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу. В противоположность этому определению, множество называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества , всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) . Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством. Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup . Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf . Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний). Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. 16.Понятие последовательности и ее предела. Бесконечно малые. Свойства пределов. Монотонные последовательности. Число «е». Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Если функцию задать на множестве натуральных чисел , то множество значений функции будет счетным и каждому номеру ставится в соответствие число . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа называют элементами или членами последовательности, а число – общим или –м членом последовательности. Каждый элемент имеет последующий элемент . Это объясняет употребление термина «последовательность». Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером , т.е. указанием формулы ее ‑го члена . Бесконечный предел Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно большой (, при ), если такое, что при . Говорят, что предел последовательности равен , если для такое, что выполняется неравенство: . В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь предела. Например, по модулю неограниченно растет, но сама величина не имеет определенного стремления. Свойства пределов: Пределы обладают следующими свойствами: · Если – есть постоянная функция, то ; · Если существуют , и в некоторой окрестности точки функция ограничена, т.е. , тогда ; · Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций; · Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ; · Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии); · Если и существуют , и , то . Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей. Число «e» — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|