Понятие случайного события. Классическое определение вероятности события.

11.9. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, выпавших в первый и второй раз. События: А₁ – оба раза выпало число 6; А₂ – число 6 не выпало ни разу; А₃ – число 6 выпало ровно один раз; А₄ – оба раза выпало число очков, кратное трем; А₅ – первый раз выпало четное число, а второй раз – нечетное; А₆ – оба раза выпало одно и то же число; А₇ – сумма выпавших чисел не больше 4.

11.10. Подбрасываются три монеты. Наблюдаемый результат – выпадение орла (О) или решки (Р) на первой, второй и третьей монетах. События: А₁ – решка выпала на одной монете; А₂ – решка не выпала ни на одной монете; А₃ – решка выпала на первой монете; А₄ – орел выпал хотя бы на двух монетах.

11.11. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События: А₁ – первый ящик пустой; А₂ – в каждый ящик попало по одному шару; А₃ – все шары попали в один ящик.

11.12. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени:

- 1 . Наблюдаемый результат – координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События: А₁ – абсцисса точки попадания не меньше ординаты; А₂ – произведение координат точки неотрицательно; А₃ – абсцисса точки по модулю не больше единицы.

11.13. Из 20 яблок, находящихся в корзине, 6 яблок – сорта «шафран». Найти вероятность того, что взятое из корзины яблоко не принадлежит сорту «шафран».

11.14. В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов.

11.15. Автомат, изготавливающий однотипные детали, дает в среднем 6% брака. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что она бракованная.

11.16. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А_{1 –} выпало число 5; А₂ – выпало число, кратное трем; А₃ – выпало число, меньшее 5.

11.17. Найти вероятность событий из задачи 3.2, а также в условиях задачи 3.2 найти вероятности следующих событий: А₈ – оба раза выпало число, меньшее 5; А₉ – число 6 выпало хотя бы один раз.

Операции над событиями. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

11.18. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – выпавшее число очков. Рассмотрим события: А₁ – выпавшее число кратно трем; А₂ – выпавшее число нечетно; А₃ – выпавшее число не меньше трех; А₄ – выпавшее число не больше двух; А₅ – выпало число от 2 до 4. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события _2,, ₃, А₁А₂, А₁+А₂, А₁А₃, А₁+А₃, А₁А₄, А₁+А₄, А₁А₅, А₂А₃, А₂А₅, А₂+А₅, А₃А₄, А₃+А₄, А₃А₅, А₃+А₅, А₄+А₅, А₁+А₂+А₅.

11.19. Из партии калькуляторов выбирают пять калькуляторов для проверки. Наблюдаемый результат – число калькуляторов, имеющих брак. Рассмотрим события: А₁ – число бракованных калькуляторов не более трех; А₂ – бракованных калькуляторов – три; А₃ – число бракованных калькуляторов не менее двух; А₄ – есть хотя бы четыре калькулятора с браком; А₅ – есть хотя бы один калькулятор с браком. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события ₁, ₂, ₄, ₅, А₁А₃, А₁+А₃, А₂А₃, А₂+А₃, А₁А₅, А₁+А₅, А₂+А₄, А₂А₅, А₃А₄, А₃+А₄.

11.20. Производится осмотр телевизора, при котором можно обнаружить всего 4 различных дефекта. Наблюдаемый результат – количество обнаруженных дефектов. Рассмотрим события: А₁ – обнаружен один дефект; А₂ – обнаружено два дефекта; А₃ – обнаружено три дефекта; А₄ – обнаружены все дефекты; А₅ – обнаружен хотя бы один дефект; А₆ – обнаружено не менее двух дефектов; А₇ – обнаружено не более двух дефектов. Выяснить, какие события являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события ₄, ₅, ₇, А₁А₅, А₁+А₅, А₁А₆, А₁+А₆, А₁А₇, А₁+А₇, А₃А₄, А₃+А₄, А₅А₇, А₅+А₇, А₆А₇, А₆+А₇, А₂+А₃+А₄.

11.21. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.1. Событие А_k – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄.

2

1 4

3 Рис.1

11.22. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.2. Событие А_k – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4,5; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅.

1 2

3

4 5 Рис.2

11.23. Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара. Найти вероятность того, что они будут одного цвета.

Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

11.24. На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того, что наугад взятый телефонный аппарат имеет брак.

11.25. На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.

11.26. Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным.

11.27. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным.

11.28. В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой урне и треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна и из нее извлекается шар. Найти вероятность того, что он – черный.

11.29. Из урны, содержащей 5 белый и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем наугад шар из второй урны окажется белым.

11.30. Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.

Литература:[2,3,4,7,16,17,19,21,23,24,25]

Учебно-методическая литература:[2]

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: