1 страница. Завдання до самостійної роботи

Частина 2

Завдання до самостійної роботи

Самостійна робота №1. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії

№ 1

1. Розв’язати:

а) рівняння

б) систему рівнянь

2. Дано координати вершин трикутника А (3;1;-1), В (6;5;-1), С (2;0;1). Знайти проекцію вектора на вектор .

3. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А (3;-2) і В (-1;1).

4. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо вона симетрична відносно осі ОХ і проходить через точку А (9;6).

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

y = -x²+ 6 x+ 1, x-y+ 1 = 0.

№ 2

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Дано вектори: =(2;-1;3), =(3;6;0). Довести, що .

3. Обчислити площу трикутника, який утворений осями координат і прямою 3 х- 4 у- 12 = 0.

4. Знайти центр і радіус кола, заданого рівнянням

х²+у²- 10 х+ 6 у+ 30 = 0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

№ 3

1. Розв’язати:

а) нерівність ;

б) систему рівнянь

2. Дано координат вершин трикутника А (2;1;3), В (1;2;-1), C (3;-1;2). Знайти: скалярний добуток векторів і , довжину вектора .

3. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку М (2;1) паралельно до прямої 2 х +3 у +4=0.

4. Написати канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між його фокусами дорівнює 8, а мала піввісь рівна 3.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у = х² -4 х +4, 6 х - у -12+0.

№ 4

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що знайти

3. Знайти кут між прямими 5 х - у +7=0 і 3 х +2 у =0.

4. Знайти координати центра і півосі еліпса 5 х² +9 у² -30 х +18 у +9=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =2 х - х², у =- х.

№ 5

1. Розв’язати:

а) рівняння

б) систему рівнянь

2. Дано координати вершин трикутника А (-1;-2;4), В (-4;-2;0),

С (3;-2;1). Знайти внутрішній кут при вершині В.

3. Перевірити, чи належать точки А (3;4) і В (0;3) прямій

2 х - у +3=0.

4. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо а =8,

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =3- х², у = х -3.

№ 6

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Знайти проекцію вектора =(3;2;-4) на вектор =(-3;5;-1).

3. Дано вершини трикутника А (2;-5), В (1;-2) і С (4;7). Написати рівняння його медіани, проведеної з вершини В.

4. Парабола з вершиною в початку координат проходить через точку А (2;4) і симетрична відносно осі ОХ. Написати її рівняння.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у = х ³, х =-1, х =1, у =0.

№ 7

1. Розв’язати:

а) нерівність

б) систему рівнянь

2. Знайти роботу, яку виконує сила =(3;-2;-5), коли її точка прикладання рухається прямолінійно, переміщуючись із положення А (2;-3;5) в положення В (3;-2;-1).

3. Довести, що прямі 2 х -4 у +3=0 і х -2 у =0 паралельні.

4. Написати канонічне рівняння еліпса, якщо велика піввісь а =6, ексцентриситет =0,5.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у² =2 х +4, х =0.

№ 8

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Обчислити значення виразу якщо

3. Дано рівняння прямої 5 х +2 у -3=0. Визначити кутовий коефіцієнт прямої, яка паралельна даній.

4. Дано гіперболу 16 х² -9 у² =144. Знайти її півосі, фокуси, ексцентриситет.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у = х² -8 х +16, 2 х - у +16=0.

№ 9

1. Розв’язати:

а) рівняння

б) систему рівнянь

2. Довести, що чотирикутник з вершинами в точках А (2;1;-4), В (1;3;5), С (7;2;3) і Д (8;0;-6) – паралелограм.

3. Звести рівняння прямої 2 х +3 у -6=0 до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

4. Встановити, що рівняння визначає параболу, знайти координати її вершини і значення параметра р.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =е^-х, у =е^х, у =2.

№ 10

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Задані точки А (2;1;0), В (3;-1;1), С (-1;3;0). Обчислити

3. Звести рівняння прямої 2 х -3 у -6=0 до рівняння прямої у відрізках.

4. Знайти центр і радіус кола, що задане рівнянням х²+у² +2 х -4 у - -11=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у = , у =2 , х =4.

№ 11

1. а) Знайти точку перетину двох прямих: 3 х -5 у -13=0 і

2 х +7 у -81=0.

б) Розв’язати систему рівнянь

2. Знайти довжину вектора , якщо

3. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (-1;-1) паралельно до вектора =(3;2).

4. Скласти рівняння кола, якщо точки А (-1;3) та В (7;7) є кінцями одного з його діаметрів.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =х², у =2- х².

№ 12

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Дано точки М (-5;7;-6) і N (7;-9;9). Обчислити проекцію вектора =(1;-3;1) на вектор .

3. Довести, що прямі 3 х - у +5=0 і х +3 у -1=0 перпендикулярні.

4. Написати канонічне рівняння еліпса, якщо його велика вісь 2 а =10, а відстань між фокусами 2 с =8.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у = , у =0, х =0, х =1.

№ 13

1. Розв’язати:

а) нерівність

б) систему рівнянь

2. Вектори і взаємно перпендикулярні, причому Визначити і .

3. Дано трикутник з вершинами в точках А (-2;3), В (1;0) і С (2;1). Знайти довжину його медіани СД.

4. Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо відстань між фокусами 2 с =10 і мала вісь 2 b =8.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями: у =2 х, у = х³.

№ 14

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Дано вершини трикутника А (3;-1;0), В (2;1;1), С (3;0;-2). Обчислити

3. Побудувати прямі, що задані рівняннями х -3 у +9=0 і х -2=0.

4. Знайти вершину параболи х² -2 у +3 х -1=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =sin х, х =0, х = .

№ 15

1. Розв’язати:

а) рівняння

б) систему рівнянь

2. При якому значенні m вектори =(3;m;4) і =(m;4;-7) перпендикулярні?

3. Знайти проекцію точки P (-6;4) на пряму 4 х -5 у +3=0.

4. Скласти рівняння кола, якщо воно проходить через початок координат і його центр співпадає з точкою С (6;-8).

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =- х² -6 х +3, х-у +9=0.

№ 16

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Знайти якщо

3. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А (1;3) і

В (2;-3).

4. Знайти координати центра і півосі гіперболи

16 х² -9 у² -64 х -54 у- -161=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =4 х - х², у =0.

№ 17

1. Розв’язати:

а) нерівність

б) систему рівнянь

2. Довести, що чотирикутник з вершинами А (-3;5;6), В (1;-5;7),

С (8;-3;-1) і Д (4;7;-2) – квадрат.

3. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку К (2;1) перпендикулярно до прямої 2 х +3 у +4=0.

4. Написати канонічне рівняння еліпса, якщо його мала піввісь b =8, а ексцентриситет .

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у = х² -6 х -3, х + у +3=0.

№ 18

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Обчислити скалярний добуток векторів =(3;4;-12) та

=(-1;2;-1).

3. Скласти рівняння прямих, які проходять через точку А (5;7) і паралельні до осей координат, побудувати їх.

4. Знайти центр і радіус кола х² + у² +6 х =0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =х² +4 х, у = х +4.

№ 19

1. Розв’язати:

а) рівняння

б) систему рівнянь

2. Знайти роботу, яку виконує сила =(3;4;-2) при прямолінійному переміщенні матеріальної точки з положення А (2;0;-3) в положення В (-1;4;2).

3. Довести, що прямі 3 х +5 у -4=0 і 6 х +10 у -8=0 співпадають.

4. Знайти вершину параболи х² +3 х - у =10.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =ln х, у = 0, х =e.

№ 20

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Обчислити проекцію вектора на вектор , якщо

=(1;-1;2) і =(2;-2;1).

3. Встановити, під яким кутом перетинаються прямі 2 х + у -1=0 і .

4. Знайти півосі, координати фокусів і ексцентриситет еліпса 9 х² +4 у² =36.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =х² +2 х, у =х +2.

№ 21

1. а) Знайти точку перетину двох прямих: 2 х-у =0 і 3 х +2 у -7=0.

б) Розв’язати систему рівнянь

2. Обчислити скалярний добуток векторів =(-4;3;0) і =(2;-3;6) та визначити, який кут (гострий, прямий чи тупий) вони утворюють.

3. Знайти координати центра ваги трикутника з вершинами в точках А (3;-1), В (-2;0), С (2;4).

4. Скласти рівняння кола, якщо його центр знаходиться в точці С (2;1), а пряма 3 х -4 у +8=0 – його дотична.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =х² -3 х +4, 5 х + у -7=0.

№ 22

1. Розв’язати:

а) нерівність

б) систему рівнянь

2. Дано вершини чотирикутника А (1;2;3), В (7;-3;2), С (3;0;6) і Д (9;2;4). Довести, що його діагоналі взаємно перпендикулярні.

3. Знайти кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки

А (-2;3) і В (1;0).

4. Знайти координати центра і півосі еліпса 2 х² + у² -4 х +4 у -10=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =х² -2 х +2, у =0, х =0.

№ 23

1. Розв’язати:

а) рівняння

б) систему рівнянь

2. Дано трикутник з вершинами в точках А (2;-1;3), В (1;1;1), С (0;0;5). Знайти його внутрішній кут при вершині А.

3. Дано вершини трикутника А (2;-5), В (1;-2) і С (4;7). Знайти рівняння його висоти, опущеної з вершини В.

4. Визначити координати вершини параболи і її параметр, якщо вона задана рівнянням .

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

ху= 3, х+у =4.

№ 24

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Дано три вектори =(1;-3;4) і =(3;-4;2) і =(-1;1;4). Знайти

3. Дві сторони квадрата лежать на прямих х -2 у +2=0 і х -2 у -5=0. Обчислити його площу.

4. Знайти координати центра і півосі гіперболи

16 х² -9 у² -64 х -18 у +199=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =- х² +3 х, у =0.

№ 25

1. Розв’язати:

а) нерівність

б) систему рівнянь

2. Дано точки А (-1;3;-7), В (2;-1;5) і С (0;1;-5). Обчислити

3. Знайти відстань від точки А (2;7) до прямої 12 х +5 у -7=0.

4. Скласти рівняння кола, якщо точки А (3;2) і В (-1;6) – кінці одного з його діаметрів.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у² =9 х, у =3 х.

№ 26

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Обчислити значення виразу , якщо відомо, що =2, =3 і .

3. Дано трикутник з вершинами в точках А (2;-3), В (3;0) і С (-2;5). Знайти довжину висоти АД.

4. Знайти координати центра і півосі еліпса 4 х² +3 у² -8 х +12 у -32=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =3+2 х - х², у =0.

№ 27

1. Розв’язати:

а) рівняння

б) систему рівнянь

2. Дано вершини трикутника А (3;-1;0), В (2;1;1), і С (3;0;-2). Знайти проекцію вектора на вектор .

3. Який кут утворює з віссю ОХ пряма 2 х +2 у -5=0?

4. Знайти центр і радіус кола х² + у² +4 х +8 у +11=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =- х² +4, у =х² -2 х.

№ 28

1. Розв’язати системи рівнянь:

а) б)

2. Знайти довжину вектора , якщо

3. Побудувати прямі, що задані рівняннями 2 х - у =0 і 3 х -2=0.

4. Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що відстань між фокусами 2 с =6, а ексцентриситет .

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =х² -6 х, х + у =0.

№ 29

1. Розв’язати:

а) нерівність

б) систему рівнянь

2. Дано вершини трикутника А (4;1;0), В (2;2;1) і С (6;3;1). Знайти проекцію вектора на вектор .

3. Дано рівняння прямої 5 х +2 у -3=0. Визначити кутовий коефіцієнт прямої, яка перпендикулярна до даної.

4. Знайти вершину параболи х + у² -2 у +1=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

ху =4, у =0, х =1, х =4.

№ 30

1. а) Знайти точку перетину двох прямих: 2 х - у +7=0 і 3 х +2 у =0.

б) Розв’язати систему рівнянь

2. Визначити, при яких значеннях α і β вектори =(-2;3;β) і

=(α;-6;2) - колінеарні.

3. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку К (5;-1) перпендикулярно до вектора =(3;-2).

4. Визначити півосі, координати фокусів і ексцентриситет еліпса 3 х² +4 у² -12=0.

5. Побудувати плоску фігуру, обмежену лініями:

у =х² +4 х, х - у +4=0.

Самостійна робота №2. Вступ до математичного аналізу

№ 1

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти границі функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:

№ 2

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти границі функцій:

a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:

№ 3

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти границі функцій:

a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:

№ 4

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти границі функцій:

a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: