ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙПрограммные вопросы 1. Область определения функции. 2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность. 3. Нахождение участков непрерывности функции и точки разрыва с указанием вида разрыва. 4. Точки пересечения с осями координат. 5. Асимптоты графика функции. 6. Интервалы возрастания и убывания функции. 7. Экстремумы функции. 8. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции. Решение типового примера Пример 1.1. Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления, начертить ее график. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область определения функции D(y) и исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции, ее односторонние пределы в точках разрыва; 2) проверить четность (нечетность) функции; 3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности; 4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика; 5) найти наклонные асимптоты графика функции; 6) построить график, используя результаты предыдущих исследований. Решение. 1)Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента x, то есть , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот. 2) Исследуем функцию на четность (нечетность), для чего рассмотрим : . Таким образом, мы видим, что . Следовательно, функция не является четной. . Таким образом, мы видим, что . Следовательно, функция не является нечетной. Поэтому, делаем вывод, что график функции - общего вида. 3) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем ее к нулю: , , . Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки x 1 = – 5, x 2 = – 1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
, . 4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю: , . Итак, функция имеет одну критическую точку . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки . 5) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами , . Имеем . Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет. 6) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба . С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|