Решение типового примера. Задача 12.5.Для случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета в беспроигрышной лотерее

Задача 12.5. Для случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета в беспроигрышной лотерее, в которой разыгрывается 100 выигрышей (10 по 50 руб., 30 по 10руб., 60 по 1 руб.), 1) построить ряд распределения; 2) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3)найти функцию распределения вероятностей.

Решение. 1) Случайная величина в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, которое предугадать заранее невозможно. Дискретная случайная величина Х, принимающая значения х₁, х₂,…, х_n с вероятностями р₁, р₂,…, р_n, может быть задана рядом распределения, который записывается в виде таблицы:

В нашем случае возможные значения случайной величины Х: 1, 10 и 50. Вероятности этих значений , , .

Получаем ряд распределения:

2) Так как математическое ожидание М(Х) для дискретной случайной величины Х находится по формуле

,

то получаем: М(Х) = 1∙0,6 +10∙0,3 + 50∙0,1 = 8,6

Дисперсия D(Х) случайной величины Х может быть найдена по формуле:

D(Х) = М(Х²) - [М(Х)]²

Вычислим М(Х²) = 1²∙0,6 + 10²∙0,3 + 50²∙0,1 = 280,6. Тогда D(Х) = 280,6 – (8,6)² = 206,64.

Среднее квадратическое отклонение . Получаем: .

3) Для случайной величины Х функция распределения вероятносте й F(x) определяется формулой: F (х) = Р (Х<х)

Для дискретной случайной величины F(x) вычисляется по формуле:

.

Найдём функцию распределения вероятностей.

Если x < 1, то F(x)=Р(Х<х)=Р(-¥ <X< x)=0, так как интервал (-¥; х) не содержит возможных значений Х; если 1 < x ≤10, то F(x)=Р(Х<х)= =Р(-¥ <X< x)=P(X=1)=0,6; если 10< x≤50, то F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+ Р(Х=10)=0,6+0,3=0,9; если х>50, то F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+ Р(Х=10)+Р(Х=50)=0,6+0,3+0,1=1. Итак,

Ответ: 2) М(Х) = 8,6; D(Х) = 206,64. .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: