Ферма, Ролль, Лагранж теоремалары 2 страница

35. Ньютон - Лейбниц формуласы. Меншіксіз интеграл

Ньютон-Лейбниц формуласы. F(b) – F(a), мұндағы .

1. Меншіксіз интеграл. Егер y=f(x) функциясы аралығында үзіліссіз болса, онда мына шекті жоғары шегі шексіз меншіксіз интеграл дейді және былай жазады:

.

Теңдіктің оң жағындағы шек ақырлы болса меншіксіз интеграл жинақталады деп, ал шек ақырсыз немесе болмаса меншіксіз интеграл жинақталмайды дейді. Осыған ұқсас мынадай меншіксіз интегралдар анықталады:

, .

37. Көп айнымалыдан тәуелді ф-ия. Анықталу обл. Деңгейлік сызықтар

Өмірде қандай да бір құбылыстар, оның ішінде экономикалық қатынастар да, бірнеше шамалардың байланысы арқылы сипатталады. Осы байланыстарды зерттеу көп айнымалы функция ұғымын енгізуді қажет етеді. Анықтама. Қандай да бір Х жиынының элементтеріне қандай да бір заң немесе ереже бойынша z шама сәйкес қойылса, Х жиынында п айнымалыдан тәуелді функция берілген дейміз де z= деп жазамыз. Мұндағы айнымалылар тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, ал z тәуелді айнымалы немесе функция, f – заң немесе ереже, ал Х - функцияның анықталу облысы болады.

Бұдан былайғы жағдайда екі айнымалыдан тәуелді функция қарастырамыз. Екі айнымалыдан тәуелді функцияға қатысты айтылған тұжырымдардың барлығын одан да жоғарғы айнымалыдан тәуелді функциялар үшін дұрыс болады.

Екі айнымалыдан тәуелді функцияны

z=

деп белгілейміз. Бұл функцияның анықталу облысы хОу жазықтығында анықталады. Екі айнымалы дан тәуелді функция графигі үш өлшемді кеңістіктегі (х, у, z) нүктелердің геометриялық орнымен анықталатын қандай да бір бет болады. Мұнда х – абсцисса, у – ордината, z – апликата, және олар арасында z = f(x, y) функциялық байланыс бар.

Функция графигін z = С жазықтығымен қиғанда пайда болатын сызық z= f(x, y) функциясының деңгейлік сызығы деп аталады: f(x, y) = С (2)

Көп жағдайда функция графигін қарастырғаннан гөрі оның деңгейлік сызығын зерттеу оңай болады.

z= f(x, y) функциясына бір айнымалыдан тәуелді екі функция сәйкес қоюға болады: х аргументті тұрақты деп (x=x₀) қарастырғанда z= f(x₀ , y) функциясын және у аргументті тұрақты деп (у=у₀) қарастырғанда z= f(x, y₀) функциясын.

38. Дербес туынды.Толық дифференциал.

z= f(x, y) функциясын қарастырайық. х аргументке х өсімше у аргументке у өсімше берсек функция жаңа мәнге ие болады, z= f(x+ х, y+ z= f(x+ х, y+ у ) – f(x, y) шамасы функцияның (х,у) нүктедегі толық өсімшесі деп аталады. Егер тек х не у аргументке ғана өсімше берсек, онда функцияның сәйкес дербес өсімшелерін аламыз

z= f(x+ х, y) – f(x, y); z= f(x, y+ у ) – f(x, y) А-ма. Z= f(x, y) функциясының дербес өсімшелерінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған жағдайдағы шегі функцияның дербес туындысы деп аталады және былайша жазылады: Бұл анықтамадан z туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп, ал z туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп қарастыру керек. Және де бір айнымалы функция дифференциалынан белгілі дифференциалдаудың барлық ережелері сақталады. Мысал. функциясының дербес туындыларын табу керек. Шешуі. x бойынша дербес туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп аламыз, сонда . у бойынша дербес туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп аламыз, сонда . Егер және дербес туындылар дифференциалданатын функциялар болса, онда бұл функциялардың екінші ретті дербес туындыларын табуға болады. функциясының дербес туындыларын табсақ , . функциясының дербес туындыларын табсақ , . Функцияның екінші ретті және дербес туындыларын функцияның аралас туындылары деп атайды. Егер z= f(x, y) функциясы мен оның аралас туындылары қандай да бір М(х₀,у₀) нүктенің маңайында анықталған және үзіліссіз болса, онда функцияның аралас туындылары өзара тең болады, = Мысал. функциясының екінші ретті дербес туындыларын табу керек. Шешуі. Бірінші ретті дербес туындылары алдыңғы мысалда табылған: , Енді осы туындылардан туынды табайық. , , А-ма. z= f(x, y) функцияның толық дифференциалы деп осы функцияның дербес туындыларының сәйкес аргумент өсімшелеріне көбейтіндісінің қосындысын айтамыз, (*) Егер f(x,y) = x, g(x,y) = y функциялары үшін (*) қатынас бойынша толық дифференциалдарын тапсақ, df = dx= x, dg = dy= y болатындығы шығады. Олай болса функцияның толық дифференциалын мына түрде жазуға болады: .

 

 

39. Бағыт бойынша туынды ж-е градиент

z= f(x, y) функциясы М(х,у) нүктесінің қандай да бір маңайында анықталған болсын және вектор бағытымен анықталатын қандай да бір l бағыт берілсін. Мұнда және бұрыштар векторының Ох және Оу осімен жасайтын бұрышы, ал - вектордың бағыттаушы косинустары деп аталады және

, .

 

М(х,у) нүктесі l бағыт бойымен қозғалып М₁(х+ х, у+ у) нүктеге өзгергенде z функция

z = f(х+ х, у+ у) - f(x, y)

өсімше алады. Егер ММ₁ = l болса, онда х= lcos , y= lcos , олай болса

=

f(х+ lcos , у+ lcos ) - f(x, y).

l

Анықтама. z= f(x, y) функциясының l бағыт бойымен алған өсімшесінің l шамаға қатынасының осы шама нолге ұмтылғандағы шегі функцияның бағыт бойынша туындысы деп аталады, яғни

.

Функцияның бағыт бойынша туындысының абсолют шамасы функция өзгеруінің жылдамдығын анықтайды, ал таңбасы функция өзгерісін («+» - өсетінін, «-» - кемитінін) сипаттайды.

z= f(x, y) функциясының және дербес туындылары функцияның Ох және Оу остеріне параллель бағыт бойынша алынған туындылары болады.

Бағыт бойынша туынды анықтамасынан

 

cos + cos (7)

 

болатындығы шығады.

Егер l бағыт координаталарымен берілсе, яғни , онда бұл вектордың бағыттаушы косинустары былайша табылады:

 

cos = , cos = (8).

Анықтама. z= f(x, y) функциясының градиенті деп координаталары (, ) болатын векторды айтады және grad z деп белгілейді,

grad z= (, ) (9)

 

(7) формуланың оң жағында grad z = (, ) векторы мен векторының скаляр көбейтіндісі тұр, олай болса бағыт бойынша туынды дегеніміз градиент пен бағытты анықтайтын бірлік вектордың скаляр көбейтіндісіне тең екен:

(grad z, ) (10)

Екі вектор бірдей бағытталғанда олардың скаляр көбейтіндісі ең үлкен мән қабылдайды. Олай болса grad z функцияның нүктедегі максималды жылдамдық (өсу) бағытын көрсетеді екен.

Мынадай тұжырым дұрыс болады: Қандай да бір М(х₀,у₀) нүктеде дифференциалданатын z= f(x, y) функциясының градиенті сол нүкте арқылы өтетін деңгейлік сызыққа перпендикуляр болады.

Мысал. функциясының А(-3; 2) нүктедегі градиенті мен векторы бағытындағы туындысын табу керек.

Шешуі. Алдымен дербес туындылар табамыз:

, .

Дербес туындылардың А нүктесіндегі мәнін есептейміз:

,

(9) формула бойынша функцияның А нүктесіндегі градиенті

grad z = табылды.

Енді осы нүктедегі бағыт бойынша туындыны табайық. (8) формула бойынша вектордың бағыттаушы косинустарды табамыз:

cos = , cos = .

(7) формула бойынша функцияның А нүктесіндегі векторы бағытындағы туындыны табылды

40. Екі айнымалыдан тәуелді функция экстремумы, қажетті және жеткілікті шарттары

Екі айнымалыдан тәуелді z= f(x, y) функциясын қарастырайық. М(х₀,у₀) нүктесі функцияның анықталу облысына тиісті нүкте болсын. А-ма. М(х₀,у₀) нүктенің жақын маңайында жатқан барлық (х, у) нүктелер үшін f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның максимум нүктесі деп, ал f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның минимум нүктесі деп аталады. Функция максимумы мен минимумы функция экстремумы деп аталады. Экстремумның қажетті шарты. М(х₀,у₀) нүктесі z= f(x, y) функциясының экстремум нүктесі болса, онда бұл нүктедегі функцияның дербес туындылары нолге тең, , . Экстремумның жеткілікті шарты. z= f(x, y) функциясы: 1) дербес туындылары нолге тең болатын , , М(х₀,у₀) нүктесінің маңайында анықталған болсын; 2) функцияның осы нүктеде екінші ретті үзіліссіз туындылары бар, , , . Онда, егер болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум бар, және егер A<0 – максимум, A>0 – минимум; ал болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум жоқ; болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремумның бар жоқтығы белгісіз. Екі айнымалы функцияны экстремумға мынадай ретпен зерттеген жөн: 1. Функцияның және дербес туындыларын табу; 2. теңдеулер жүйесін шешіп, күдікті нүктелерді табу; 3. Функцияның екінші ретті дербес туындыларын тауып, экстремумның жеткілікті шарты бойынша экстремумның бар жоқтығын анықтау; 4. Функция экстремумдарын (экстремум нүктедегі) мәнін табу. ШАРТТЫ ЭКСТРЕМУМ. ЛАГРАНЖ ӘДІСІ Екі айнымалы функция экстремумын оның бүкіл анықталу облысында емес, тек берілген шартты қанағаттандыратын жиында қарастырайық. Айталық z= f(x, y) функциясының х және у аргументтері байланыс теңдеуі деп аталатын g(x,y) = 0 теңдеуін қанағатандырсын. А-ма. М(х₀,у₀) нүктенің жақын маңайында жатқан g(x,y) = 0 теңдеуін қанағатандыратын барлық (х, у) нүктелер үшін f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның шартты максимум нүктесі деп, ал f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның шартты минимум нүктесі деп аталады. Функцияның шартты экстремумын қарапайым жағдайларда бір айнымалы функция экстремумын табуға келтіреді.. Мынадай теорема дұрыс болады. Теорема. Егер (х₀,у₀) нүкте z= f(x, y) функциясының g(x,y) = 0 шартын қанағаттандыратын шартты экстремум нүктесі болса, онда қандай да бір табылады да, нүкте L(x, y, ) функциясының экстремум нүктесі болады. Сонымен, z= f(x, y) функциясының g(x,y) = 0 шартын қанағаттандыратын шартты экстремумын табу үшін мынадай жүйені шешу керек: Бұл жүйедегі соңғы теңдеу - байланыс теңдеуі. Ал бастапқы екі теңдеуді мынадай түрде жазуға болады: grad f = - grad g, яғни, шартты экстремум нүктесінде f(x, y) және g(x,y) функцияларының градиенттері коллинеар болады..

41. Дифференциалдық теңдеулер. Коши есебі

.Анықтама. Дифференциалды теңдеу деп х тәуелсіз айнымалы, у(х) ізделінді функция және оның түрлі ретті туындыларын өз ара байланыстыратын теңдеуді айтамыз. Дифференциалды теңдеу ретi деп теңдеудегі туындының жоғары ретін айтамыз.Мысалы, xy'+y=0, - бірінші ретті дифференциалды теңдеулер; - екінші ретті дифференциалды теңдеу; - үшінші ретті дифференциалды теңдеу. Бірінші ретті дифференциалды теңдеуді қарастырайық, . Егер осы теңдеу функция туындысына қатысты шешіліп тұрса деп жазылады. Дифференциалды теңдеудегі орнына қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын, дифференциалданатын y=q(x,С) функциясын теңдеудің жалпы шешімі деп айтамыз. Мысалы, xy'+y=0 теңдеудің жалпы шешімі болады. Шынында да, осы функция теңдеуді тепе-теңдікке айналдырады, .Дифференциалды теңдеудің жалпы шешімінен қандай да бір нақты С=С₀ мәнінде алынатын шешім теңдеудің дербес шешімі деп аталады. Анықтама. теңдеудің берілген бастапқы у(х₀)=у₀ шартты қанағаттандыратын шешімін табуды Коши есебі дейді. Дифференциалды теңдеудің шешімін табу процесін теңдеуді интегралдау дейді.

42. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер. Мысалдар.

Егер (2) теңдеу мынадай түрде жазылатын болса, ол айнымалысы ажыратылатын дифференциалды теңдеу деп аталады. Бұл теңдеуді шешу үшін теңдеудің екі жағын көбейткішке бөлеміз: Сонда dx алдында тек х -тен тәуелді, ал dy алдында тек у -тен тәуелді функция тұрады да, теңдеудің айнымалылары ажыратылады. Енді теңдеуді мүшелеп интегралдап шешімін табуға болады: . Мысалы, xy'+y=0 дифференциалды теңдеудің шешімін табайық. екенін ескеріп теңдеуді мына түрде жазайық Теңдеудің екі жағын ху көбейткішке бөліп айнымалысын ажыратамыз: . Мүшелеп интегралдасақ, lny+lnx=lnC, осыдан екендігі шығады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: