Ферма, Ролль, Лагранж теоремалары 4 страница

52. Кездейсоқ шама. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңдылығы. А-ма. Тәжiрибе нәтижесiнде алдын-ала белгiсiз, бiрақ нақтылы бiр мән ғана қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деймiз. А-ма. Ақырлы немесе ақырсыз саналатын мәндер қабылдайтын кездейсоқ шаманы дискреттi кездейсоқ шама деп атайды. А-ма. Ақырлы немесе ақырсыз аралықтағы кез келген мәндi қабылдай алатын кездейсоқ шаманы үзiлiссiз кездейсоқ шама деп атайды. КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАНЫҢ ҮЛЕСТIРIМ ЗАҢЫ Мысал қарастырайық. Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда, 6 ұпай неше рет түсуi мүмкiн екенiн табайық.Жасалатын тәжiрибе: ойын сүйегiн екi рет лақтыру. Iзделiндi шама: осы екi ретте 6 ұпайдың түсу саны. Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда бiрде-бiр рет 6 ұпай түспеуi мүмкiн, немесе бiр рет не тiптi екi ретте де 6 ұпай түсуi мүмкiн. Сонымен, iзделiндi шаманы” қабылдайтын мүмкiн мәндерi: 0, 1, 2. Тәжiрибе алдында iзделiндi шама өзiнiң мүмкiн 3 мәнiнiң қайсысын қабылдайтыны белгiсiз, тек мiндеттi түрде осы үш мәннiң бiреуiне тең болады, яғни бұл шама - дискреттi кездейсоқ шама болады. Оны Х деп белгiлейiк:Х: х₁=0, х₂=1, x₃=2. Кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiн көрсетiп қойғаннан кейiн, мынадай сұрақ туындайды: кездейсоқ шаманың осы мәндердi қабылдау мүмкiндiгi бiрдей ме, әлде әр түрлi ме? Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда 6 ұпайдың түспеуi түсуiне қарағанда мүмкiндiгi жоғары. Олай болса, кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiмен қатар олардың осы мәндердi қабылдау мүмкiндiктерiн де көрсетiп қойсақ кездейсоқ шама жөнiндегi ұғымымыз толығырақ болар едi. Ойын сүйегiн екi рет лақтырғанда 6 ұпайдың бiрде-бiр рет түспеуi кездейсоқ оқиға, сол сияқты 6 ұпайдың бiр рет қана түсуi және екi ретте де түсуi кездейсоқ оқиғалар болады. Осы үш оқиғаны А, В, С деп белгiлейiк:А={6 ұпайдың бiрде-бiр рет түспеуi} немесе А={Х=0};В={6 ұпайдың бiр рет түсуi} немесе В={Х=1};С={6 ұпайдың екi рет түсуi}немесе С={Х=2}.Кездейсоқ оқиғалар болса, олардың ықтималдықтарын табуға болады. А оқиғасының ықтималдығын табайық. Бiрiншi рет 6 ұпай түспеуiнiң ықтималдығы , екiншi ретте де 6 ұпай түспеудiң ықтималдығы . Олай болса, .Ендi В оқиғасының ықтималдығы. Бiрiншi рет 6 ұпай түссе, екiншi рет түспеуi керек немесе бiрiншi рет алты ұпай түспесе, екiншi рет түсуi керек. Олай болса, .Ендi С оқиғасының ықтималдығы. Бiрiншi рет 6 ұпай түсуiнiң ықтималдығы , екiншi ретте де 6 ұпай түсуiнiң ықтималдығы . Олай болса, .Сонымен, Х-кездейсоқ шамасының х₁=0 мәнiн қабылдау ықтималдығы , х₂=1 мәнiн қабылдау ықтималдығы және x₃=2 деген мән қабылдау ықтималдығы .Сонымен кездейсоқ шаманың мәндер қабылдау мүмкiндiгiн олардың ықтималдықтарымен сипаттауға болады екен. А-ма. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi мен олардың сәйкес ықтималдықтарын көрсетiп жазуды дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы деп атайды. Дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Бұл заңды кесте түрiнде жазып не графиктiк түрде салып көрсетедi. Кесте түрiнде жазып көрсеткенде бiрiншi жолға кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкiн мәндерi жазылады да, екiншi жолда кездейсоқ шаманың сол мәндердi қабылдау ықтималдығы жазылады. Х кездейсоқ шаманың х₁ мәндi қабылдау ықтималдығын р₁, х₂ мәндi қабылдау ықтималдығын р₂, т.с.с., х_п мәндi қабылдау ықтималдығын р_п деп белгiлесек кесте мына түрде жазылàды: Осы кесте кездейсоқ шаманың үлестiрiм кестесi болады. Анықтаманы пайдаланып мысалдағы кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңын жазайық: А, В, С оқиғаларының бiреуiнiң орындалуы басқасын болдырмайды, яғни олар үйлесiмсiз. Және де тәжiрибе нәтижесiнде осы үш оқиғадан басқа мүмкiн оқиға жоқ, онда бұлар оқиғалардың толық тобын құрайды, және ықтималдығының қосындысы бiрге тең болатыны белгiлi. Сонда осы үш оқиғаның ықтималдықтарының қосындысы бiрге тең болуы керек қой Жалпы айтсақ, кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiн қабылдау ықтималдықтарының қосындысы бiрге тең болады р₁ + р₂+...+ р_п=1.

53. Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары. Кездейсоқ шама өзiнiң үлестiрiм заңымен толық сипатталады. Бiрақ күнделiктi өмiрде кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтарын толық бiлу мiндеттi емес. Кездейсоқ шама жөнiнде бiлгiмiз келген кейбiр деректердi оның басқа да сипаттамаларына қарап анықтай алады екенбiз. Мұндай сипаттамаларға кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi, дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы және т.б. сандық сипаттамалары жатады. 1. Кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi. Мерген нысананы көздеп атқанда, мынадай ұпайларға алды: 6, 7, 8, 9, 10. Мергеннiң орташа ұпайы х_орт= 8. Жеткiлiктi деп санауға болатын атулардан кейiн осы ұпайларды алудың ықтималдығы есептелiп, үлестiрiм заңы жазылды Әр ұпайды алудың ықтималдығы белгiлi болғаннан кейiн мергеннiң орташа ұпайы басқаша болатынын аңғару қиын емес. Мынадай анықтама енгiзейiк. А-ма. Кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерiн сәйкес ықтималдықтарына көбейтiп қосқаннан шыққан санды кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп атайды да, М(Х) деп белгiлейдi. Математикалық үмiт кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi қандай сан маңайында шоғырланғанын көрсетедi. Математикалық үмiттi “орта шама” немесе “үлестiрiм центрi” деп те айтады. Кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кесте түрiнде берiлсе, онда М(Х) мынаған тең болады:М(Х) = х₁р₁+х₂р₂+...+х_np_n. Ендi қарастырған мысалдағы мерген ұпайларының математикалық үмiтiн есептеп көрейiк. М(Х) = 10×0,01+9×0,1+8×0,15+7×0,25+6×0,49= 6,89 Сонда мергеннiң ұпайлары Х_орт=8 орта мәннiң маңайында емес, М(Х)= 6,89 математикалық үмiт маңайында шоғырланған. Математикалық үмiттiң мынадай қасиеттерi бар: 1-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық үмiтi сол шаманың өзiне тең М(С) = С. 2-қасиет. Тұрақты шаманы математикалық үмiт таңбасы алдына шығаруға болады М(С×Х) = С×М(Х). 3-қасиет. Екi кездейсоқ шама қосындысының математикалық үмiтi олардың математикалық үмiттерiнiң қосындысына тең М(Х+У) = М(Х)+М(У) 4-қасиет. Тәуелсiз екi кездейсоқ шама көбейтiндiсiнiң математикалық үмiтi олардың математикалық үмiттерiнiң көбейтiндiсiне тең М(Х×У) = М(Х)×М(У). Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуын табуға болады. Мысалда қарастырған мерген ұпайларының М(Х) = 6,89 математикалық үмiттен ауытқуын табайық. Ол үшiн мынадай екi кездейсоқ шамалар қосындысының үлестiрiм заңын табу жеткiлiктiСонда Х-М(Х) ауытқудың үлестiрiм заңы мынадай боладыЕндi осы Х-6,89 кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табайық М(Х-6,89)=3,11×0,01+2,11×0,1+1,11×0,15+0,11×0,25-0,89×0,49=0 5-қасиет. Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуының математикалық үмiтi нөлге тең М(Х-М(Х))=0. Осы қасиеттердiң қолданысын көрсететiн мысал қарастырайық. Тәуелсiз Х және У кездейсоқ шамаларының математикалық үмiттерi сәйкес 7-ге және 9-ға тең. а) 3Х, б) Х+У, в) Х×У кездейсоқ шамаларының математикалық үмiтiн табайық. Шешуі. М(Х)=7, M(У)=9. а) 3Х кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу үшiн 2-қасиеттi қолданамыз. Мұндағы тұрақты сан 3, олай болса М(3Х) =3×М(Х) =3×7=21. б) Х+У кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу үшiн 3-қасиеттi қолданамыз. Сонда М(Х+У) = М(Х)+М(У)=7+9=16. в) Х×У кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу үшiн 4-қасиеттi қолданамыз. Сонда М(Х×У) = М(Х) ×М(У)=7×9=63. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы мен орта квадраттық ауытқуы Екi мергеннiңцентрден ауытқуларының үлестiрiм заңдары белгiлiОсы екi мергеннiң бiреуiн ғана жоғары деңгейдегi жарысқа таңдап алу керек. Ол үшiн екi кездейсоқ шама математикалық үмiттерiн салыстырып қайсысы аз мәнге ие болса соны таңдап аламыз (себебi, центрден аз ауытқыған). Математикалық үмiттерiн есептейiк М(Х)=1×0,4+2×0,3+3×0,2+4×0,1=2; M(У)=0×0,1+1×0,45+3×0,35+5×0,1=2. Екi кездейсоқ шаманың да математикалық үмiттерi бiрдей болып қалды М(Х)=М(У), яғни екi мерген көрсеткiштерi ауытқуларының орта шамасы бiрдей. Кездейсоқ шамалардың математикалық үмiттен ауытқуының математикалық үмiтiн алу да бiзге ешқандай нәтиже бермейдi, себебi 5-қасиет бойынша ол әруақытта нөлге тең. Мынадай жаңа ұғым енгiзейiк. А-ма. Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуы квадратының математикалық үмiтiн дисперсия деп атайды да, D(X) деп белгiлейдi: D(Х)=М[{Х-М(Х)}²]. Әдетте дисперсия оңай есептелiнетiн мынадай теорема қолданылады. Т-ма. Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы Х² кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi мен Х кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi квадратының айырымына тең D(Х)=М(Х²)-[М(Х)]². Дисперсия кездейсоқ шама мәндерiнiң математикалық үмiттен қаншалықты шашырап орналасқандығын көрсетедi. Мысалдағы екi мергеннiң де дисперсияларын есептейiк. Ол үшiн Х² және У² кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңын жазып алайықМ(Х²) пен М(У²) есептейiк М(Х²)=1×0,4+4×0,3+9×0,2+16×0,1=5; M(У²)=0×0,1+1×0,45+9×0,35+25×0,1=6 Ендi дисперсияларын есептейiк D(X)=М(Х²)-[М(Х)]²=5-2=3; D(У)=М(У²)-[М(У)]²=6,1-2=4,1. Екi кездейсоқ шаманың дисперсиялары әртүрлi: D(X)=3 және D(У)=4,1. Бiрiншi мергеннiң көрсеткiштерi екiншi мерген көрсеткiштерiне қарағанда орта шамадан шашырауы аз. Басқаша айтсақ бiрiншi мергеннiң көрсеткiштерi орта шама маңайында, екiншiге қарағанда, көбiрек шоғырланған. Бұл қортынды жоғары деңгейдегi жарысқа бiрiншi мергеннiң таңдалуына негiз болады.Дисперсияның бiрнеше қасиеттерiн келтiрейiк. 1-қасиет. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең D(С) = 0. 2-қасиет. Тұрақты шаманы дисперсия таңбасы алдына квадраттап алып шығаруға болады D(С×Х) = С²×М(Х). 3-қасиет. Екi кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең D(Х+У) = D(Х)+D(У). 4-қасиет. Екi кездейсоқ шама айырымының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең D(Х-У) = D(Х)+D(У). Осы қасиеттердiң қолданысын көрсететiн мысал қарастырайық. Тәуелсiз Х және У кездейсоқ шамаларының дисперсиялары сәйкес 8-ге және 10-ға тең. а) 3Х, б) Х+У, в) Х-У кездейсоқ шамаларының дисперсияларын табабу керек. Шешуі. D(Х)=8, D(У)=10. а) 3Х кездейсоқ шаманың дисперсияларын табу үшiн 2-қасиеттi қолданамыз. Мұндағы тұрақты сан 3, олай болса D(3Х) =3²×D(Х) =9×8=72. б) Х+У кездейсоқ шаманың дисперсияларын табу үшiн 3-қасиеттi қолданамыз. Сонда D(Х+У) = D(Х)+D(У)=8+10=18. в) Х-У кездейсоқ шаманың дисперсияларын табу үшiн 4-қасиеттi қолданамыз. Сонда D(Х-У) = М(Х)+М(У)= 8+10=18. Орта квадраттық ауытқу. Кездейсоқ шаманың, математикалық үмiтi сызықты өлшемдi, ал дисперсиясы квадрат өлшемдi. Мысалы егер кездейсоқ шама метрмен өлшенсе, оның математикалық үмiтi де метрмен өлшенедi, ал дисперсиясы кв.метрмен өлшенедi. Осы айырмашылықты жою үшiн мынадай жаңа ұғым енгiземiз. А-ма. Кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбiр орта квадраттық ауытқу деп аталады да деп белгiленедi: . Орта квадраттық ауытқу дисперсияның квадрат түбiрi болғандықтан, оның өлшемi сызықты болады, яғни кездейсоқ шама өлшемiмен бiрдей. Орта квадраттық ауытқу да кездейсоқ шама қабылдайтын мәндерiнiң математикалық үмiттен қаншалықты шашыраңқы орналасқанын көрсетедi. Жоғарыда қарастырылған мергендердiң центрден ауытқуларының орта квадраттық ауытқуын табайық. D(X)=3 және D(У)=4,1, олай болса , .

54. Үзіліссіз кездейсоқ шама. Ықтималдықтардың үлестірім заңдылығы және негізгі сандық сипаттамалар.

Х кездейсоқ шама дискретті болса оның үлестірім заңы кесте түрінде жазылады. Ал үзіліссіз кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері шексіз болғандықтан ондай үлестірім заң жазылмайды. Сондықтан үлестірім функциясы ұғымын енгіземіз. А-ма. Х кездейсоқ шаманың х нақты саннан кіші мән қабылдау ықтималдығын кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы деп атайды және Ғ(х) деп белгілейді: F(х) = Р (Х < x). Кейде үлестірім функциясын «интегралдық функция» деп те атайды.Үлестірім функциясының қасиеттері: 1-қасиет. (анықтама бойынша үлестірім функциясы ықтималдық болып табылады). 2-қасиет. Үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни болса ( оқиғасы оқиғасын қамтиды). 3-қасиет. ( оқиғасы жалған оқиға болғандықтан , оқиғасы ақиқат оқиға болғандықтан ). 4-қасиет. . А-ма. Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясынан алынған туынды кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы деп аталады және f(x) деп белгіленеді: Кейде үлестірім тығыздығын «дифференциалдық функция» деп те атайды. Дифференциалдық функция Х кездейсоқ шаманың мәндері тәжірибені қайталап жасағанда х нақты санының маңайында қаншалықты жиі пайда болатындығын көрсетеді.Дифференциалдық функция белгілі болғанда кездейсоқ шаманың үлестірім функциясын табу қиын емес: .Дифференциалдық функция қасиеттері: 1-қасиет. (кемімейтін функция туындысы теріс болмайды). 2-қасиет. ,себебі, .

3-қасиет. . Мысал. Х кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген .Табу керек: 1) белгісіз а -ны; 2) ; 3) Интегралдық функцияны; 4) Дифференциалдық және интегралдық функция графиктерін салу. Шешуі. 1) Дифференциалдық функцияның қасиеті бойынша . Біздің жағдайымызда тығыздық үш интервалда және әр интервалда тығыздық түрлі формулалармен берілген, сондықтан:

. Сонда, осыдан . . 3) Интегралдық функцияны табайық. .4) Дифференциалдық және интегралдық функция графиктері суретте көрсетілген.

ҮЗІЛІССІЗ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАНЫҢ САНДЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ А-ма. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның х мәні мен үлестірім тығыздығы көбейтіндісінен алынған анықталған интегралы айтады . Мұндағы меншіксіз интегралды жинақталады деп қарастырамыз (егер жинақталмаса кездейсоқ шаманың математикалық үміті жоқ болады). Егер үзіліссіз кездейсоқ шаманың М(х) математикалық үміті бар болып, оның f(x) үлестірім тығыздығы жұп функция болса, онда М(х) = 0 болады. Жалпы, егер кездейсоқ шаманың f(x) үлестірім тығыздығы қандай да бір х=а нүктесіне қарағанда симметриялы болса, онда М(х) = а болады. А-ма. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп оның х мәнінің математикалық үміттен ауытқуының квадраты мен үлестірім тығыздығы көбейтіндісінен алынған анықталған интегралы айтады . Әдетте дисперсия оңай есептелiнетiн мынадай формула қолданылады:

Үзіліссіз кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбiр орта квадраттық ауытқу болады: .

55. Биномдық және Пуассон үлестірімі

Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Бернулли формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген деп аталады